Question

Quantas permutações de 7 letras A e 7 letras B, nas quais não há três letras 3 letras A adjacentes, existem ?

( Gabarito : 1016 )

#Cálculo e explicação

Answer 1

Nota Prévia:

Este exercicio pode resolver-se de várias formas no entanto vou optar por utilizar a “Combinação Simples” ..para evitar de a cada passo do desenvolvimento estar a retirar as “duplicações”(repetições).

 

Em qualquer das posiveis resoluções temos SEMPRE que “decompor” as possibilidades de agrupamento dos “AA”

 

Vamos começar pela mais simples e que vai “orientar” o raciocinio das que se vão seguir depois.

 

=> PRIMEIRA POSSIBILIDADE de “agrupamento” dos “A” (todos separados):

|A| -|A| - |A| - |A|- |A|- |A| - |A|

 

..temos 6 espaços intermédios para os “BB” …mas temos também de ter em atenção que o “anagrama” pode COMEÇAR ou TERMINAR …com um “B”!!

 

Assim teremos na realidade as possibilidades definidas (esquemáticamente) por:

| - |A| -|A| - |A| - |A|- |A|- |A| - |A| - |

 

Como tanto os “AA” como os “BB” são indistintos se usassemos a permutação teríamos que retirar as repetições ..por exemplo para os “AA” teríamos P = 7!/7! = 1 ..se usarmos Combinação teremos C(7,7) = 1

 

Agora alguma atenção aos “BB” temos 8 “localizações” ..para apenas 7 “BB” ..donde resultam as possibilidades dadas por C(8,7).

 

Assim o número de combinações para esta primeira possibilidade de agrupamento dos “AA” será dada por:

C(7,7) . C(8,7) = 8

 

=> SEGUNDA POSSIBILIDADE de “agrupamento” dos “A” (2 adjacentes):

|A|A| - |A| - |A|- |A|- |A| - |A|

 

…temos 6 possibilidades de posicionar o par de “AA” …logo teremos C(6,1)

 

Mas agora atenção a uma parte importante do raciocínio:

..quando juntamos os 2 “AA” ..o espaço intermédio que estaria destinado á colocação de um “B” …saltou para fora ficando ou no inicio ou no final do “anagrama” …por outras palavras continuamos com 8 possibilidades de colocar os “BB”.

 

..por outro lado quando agrupamos o par de “AA” …isso implicou que OBRIGATORIAMENTE vamos ter também um par de “BB” agrupados.

 

Assim as possibilidades para os “BB” serão dadas por C(8,6)

 

Assim o número de combinações para esta segunda possibilidade de agrupamento dos “AA” será dada por:

C(6,1) . C(8,6) = 168

 

=> TERCEIRA POSSIBILIDADE de “agrupamento” dos “A” (2 + 2 adjacentes):

|A|A| - |A| - |A|A|- |A| - |A|

…temos 5 possibilidades de posicionar os pares de “AA” …logo teremos C(5,2)

 

..note que passamos a ter também 2 pares de “BB” (2+2+1+1+1) .. também num total de 5 donde resulta C(8,5)

 

Assim o número de combinações para esta terceira possibilidade de agrupamento dos “AA” será dada por:

C(5,2) . C(8,5) = 560

 

=> QUARTA POSSIBILIDADE de “agrupamento” dos “A” (2 + 2 + 2 adjacentes):

 

|A|A| - |A|A|- |A|- |A|A|

…temos 4 possibilidades de posicionar os pares de “AA” …logo teremos C(4,3)

 

..note que passamos a ter também 3 pares de “BB” (2+2+2+1) .. também num total de 4 donde resulta C(8,4)

 

Assim o número de combinações para esta quarta possibilidade de agrupamento dos “AA” será dada por:

C(4,3) . C(8,4) = 280

 

INTEGRAÇÃO NUMA ÚNICA FORMULA:

 

N = [C(7,7) . C(8,7)] + [C(6,1) . C(8,6)] + [C(5,2) . C(8,5)] + [C(4,3) . C(8,4)]

 

N = (8) + (168) + (560) + (280)

 

N = 1016  <-- Resultado 1016 permutações

Espero ter ajudado