Question

Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 135º?

Answer 1

              Um polígono regular cujo angulo interno mede 135° é um octógono, polígono composto por 9 angulos internos ou apenas 8 lados. Como saber ?

(Numero de lados - 2).180 = Soma de todos os ângulos internos

Supondo que seja um octógono, temos 8 lados, então : (8-2).180 = soma dos ângulos internos
6 . 180 = 1080

1080 é a soma dos ângulos internos. Para comprovar, como um ângulo mede 135°, multipliquemos por 8 (quantidade de ângulos de um octógono) e obteremos 1080°.

Para acharmos o número de diagonais, temos a seguinte fórmula:

D = (n-3)n/ 2
D = (8-3).8 / 2
D = 5.8 / 2
D = 5.4 = 20

Conferindo:

20 = n² - 3n / 2
40 = n² - 3n
n² - 3n - 40 = 0
/\ = 9 - 4.1.(-40)
/\ = 9 + 160
/\ = 169

n = -b +- V/\ / 2a
n = 3 +- 13 / 2
n' = 16 / 2 = 8
n'' = -10 / 2 = -5

Não temos nenhum polígono com falta de lados (x''), então, o número de lados é 8.

Answer 2

              Um polígono regular cujo angulo interno mede 135° é um octógono, polígono composto por 9 angulos internos ou apenas 8 lados. Como saber ?

(Numero de lados - 2).180 = Soma de todos os ângulos internos

Supondo que seja um octógono, temos 8 lados, então : (8-2).180 = soma dos ângulos internos
6 . 180 = 1080

1080 é a soma dos ângulos internos. Para comprovar, como um ângulo mede 135°, multipliquemos por 8 (quantidade de ângulos de um octógono) e obteremos 1080°.

Para acharmos o número de diagonais, temos a seguinte fórmula:

D = (n-3)n/ 2
D = (8-3).8 / 2
D = 5.8 / 2
D = 5.4 = 20

Conferindo:

20 = n² - 3n / 2
40 = n² - 3n
n² - 3n - 40 = 0
/\ = 9 - 4.1.(-40)
/\ = 9 + 160
/\ = 169

n = -b +- V/\ / 2a
n = 3 +- 13 / 2
n' = 16 / 2 = 8
n'' = -10 / 2 = -5

Não temos nenhum polígono com falta de lados (x''), então, o número de lados é 8.

Fonte: Eu