quantas diagonais tem o polígono regular cuja diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo é 36?
Soluções para a tarefa
angulo externo(Ae)
{ Ai + Ae = 180graus.....( I )
{ Ai - Ae = 36graus -->Ai = 36 + Ae...( II )
vamos substituir ( I ) em ( II )
Ai + Ae = 180
36 + Ae + Ae = 180
Ae + Ae = 180 - 36
2Ae = 144
Ae = 144/2
Ae = 72graus
vamos substiruir em Ae = 72graus
Ai = 36 + Ae
Ai = 36 + 72 graus
Ai = 108graus
Para encontrar o lado do poligono :
Ai = ( n - 2 ) x 180
.......___________
....................n
108 = ( n - 2 ) x 180
..........__________
.......................n
108n = 180n - 360
180n - 360 = 108n
180n - 108n = 360
72n = 360
n = 360/72
n = 5 lado que tem o poligono.
Para encontrar o diagonal do poligono :
D = n ( n - 3 )
......_______
.............2
D = 5 ( 5 - 3 )
......._______
...............2
D = 5 x 2
......_____
...........2
D = 10
.......__
.........2
D = 5 diagonais
O polígono possui 5 diagonais. Esse resultado é obtido por meio de uma relação utilizada para encontrar o número de diagonais em função do número de lados e outra para encontrar o número de lados em função do ângulo interno.
Como encontrar o número de diagonais de um polígono?
O número de diagonais de um polígono é dado por:
d = n*(n - 3)/2
em que:
- d é o número de diagonais
- n é o número de lados
Como não conhecemos o número de lados do polígono, podemos encontrar esse valor descobrindo a medida do ângulo interno dele.
A soma das medidas do ângulo interno com o externo resulta em 180. E, pelo enunciado, sabemos que a diferença entre esses dois ângulos é de 36. Chamando o ângulo interno de x e o ângulo externo de y, temos:
x + y = 180
x - y = 36
Somando as duas equações, temos:
x + y + x - y = 180 + 36
2x = 216
x = 216/2
x = 108º
Ou seja, polígono é aquele cujo ângulo interno mede 108º. Para encontrar quantos lados ele possui, podemos usar a seguinte relação:
ai = 180*(n - 2)/n
em que:
- ai = ângulo interno
- n = número de lados
108 = 180*(n-2)/n
108n = 180n - 180*2
108n = 180n - 360
180n - 108n = 360
72n = 360
n = 360/72
n = 5
Ou seja, o polígono possui 5 lados (trata-se de um pentágono). Agora, substituindo o número de lados na expressão para encontrar o número de diagonais, temos:
d = 5*(5 - 3)/2
d = (25 - 15)/2
d = 10/2
d = 5
Portanto, esse polígono possui 5 diagonais.
Para aprender mais sobre polígono regular, acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/49318549
#SPJ2