Question

quantas diagonais tem o poligono regular convexo no qual a diferença entre as medidas do angulo interno e do angulo externo é 36°?

Answer 1

Vamos chamas o ângulo interno de "x". Logo, o angulo externo será dado por : 180 - x 

Então fica assim: 

x - (180 - x) = 36 

x - 180 + x = 36 

2x = 36 + 180 

2x = 216 

x = 108 

Então sabemos que os ângulos internos deste polígono medem 108°, agora vamos usar aquela fórmula pra achar o numero de lados deste polígono sabendo seu ângulo interno: 

108 = (180n - 360) / n <--- "n" é o número de lados 

108n = 180n - 360 

108n - 180n = -360 

-72n = -360 

n = -360/-72 

n = 5 lados 

Então ja sabemos que este polígono tem 5 lados, é um pentágono. Agora temos apenas que usar a fórmula para encontrar as diagonais que é n(n - 3)/2 <--- n é o numero de lado. 

Basta substituir na fórmula: 

5(5 - 3)/2 

5.2/ 2 

10/2 = 5 diagonais <---- Resposta !! 

O.b.s: Uma curiosidade: o pentágono é o único polígono regular cujo o número de diagonais é o mesmo que o número de lados.