Question

Quantas diagonais passam pelo centro de um polígono, sabendo que o número de diagonais que não passam pelo centro é igual a 70?

Answer 1

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Enunciado:

Quantas diagonais passam pelo centro de um polígono, sabendo que o número de diagonais que não passam pelo centro é igual a 70?

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Solução:

Assumindo que trate-se de um polígono regular, embora não esteja explícito no enunciado.


Seja $\mathsf{n}$ o número de lados deste polígono.

Observe que se existem diagonais deste polígono que passam pelo seu centro, então $\mathsf{n}$ é necessariamente um número par maior ou igual que 4:

$\mathsf{n\ge 4}\qquad\textsf{com n par, e }\mathsf{n \in\mathbb{N}.}$


Em um polígono regular com número par de lados, uma diagonal passará pelo centro somente se as extremidades desta diagonal forem vértices diametralmente opostos.

A quantidade de pares de vértices diametralmente opostos em um polígono regular é igual à metade do número total de vértices/lados.


Logo, para o polígono em questão, temos

•   $\mathsf{\dfrac{n}{2}}$ diagonais que passam pelo centro;

•   $\mathsf{70}$ diagonais que não passam pelo centro.

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O total de diagonais $\mathsf{\#d}$ é igual à soma da quantidade das que passam pelo centro com a quantidade das que não passam pelo centro:

$\mathsf{\#d=\dfrac{n}{2}+70}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\#d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{n}{2}+70}\\\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{n(n-3)}{\diagup\!\!\!\! 2}=2\cdot \left(\dfrac{n}{\diagup\!\!\!\! 2}+70 \right)}\\\\\\ \mathsf{n(n-3)=n+140}$

$\mathsf{n^2-3n=n+140}\\\\ \mathsf{n^2-3n-n-140=0}\\\\ \mathsf{n^2-4n-140=0}$


Temos acima uma equação quadrática em $\mathsf{n}.$ Vou resolvê-la usando fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente $\mathsf{-4n}$ como $\mathsf{-14n+10n}$ e depois fatore:

$\mathsf{n^2-14n+10n-140=0}\\\\ \mathsf{n^2-14n+10n-14\cdot 10=0}\\\\ \mathsf{n(n-14)+10(n-14)=0}\\\\ \mathsf{(n-14)(n+10)=0}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{n-14=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n+10=0}\\\\ \mathsf{n=14}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n=-10}\quad\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{-10<4}\textsf{)} \end{array}$


Por fim, encontramos

$\mathsf{n=14}\quad\longleftarrow\quad\textsf{n\'umero de lados/v\'ertices do pol\'igono.}$


Trata-se então de um tetradecágono regular.

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A quantidade de diagonais que passam pelo centro deste polígono é a metade da quantidade de vértices:

$\mathsf{\dfrac{n}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{14}{2}}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{7~diagonais} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Em um tetradecágono regular, 7 diagonais passam pelo centro.


Bons estudos! :-)


Tags:   número quantidade diagonal centro polígono regular geometria plana