Matemática, perguntado por Steph02, 1 ano atrás

Quantas diagonais passam pelo centro de um polígno, sabendo que o número de diagonais que não passam pelo centro, é igual a 70?

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
1
Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/3753245

_______________


Enunciado:

Quantas diagonais passam pelo centro de um polígono, sabendo que o número de diagonais que não passam pelo centro é igual a 70?

__________


Solução:

Assumindo que trate-se de um polígono regular, embora não esteja explícito no enunciado.


Seja \mathsf{n} o número de lados deste polígono.

Observe que se existem diagonais deste polígono que passam pelo seu centro, então \mathsf{n} é necessariamente um número par maior ou igual que 4:

\mathsf{n\ge 4}\qquad\textsf{com n par, e }\mathsf{n \in\mathbb{N}.}


Em um polígono regular com número par de lados, uma diagonal passará pelo centro somente se as extremidades desta diagonal forem vértices diametralmente opostos.

A quantidade de pares de vértices diametralmente opostos em um polígono regular é igual à metade do número total de vértices/lados.


Logo, para o polígono em questão, temos

•   \mathsf{\dfrac{n}{2}} diagonais que passam pelo centro;

•   \mathsf{70} diagonais que não passam pelo centro.

________


O total de diagonais \mathsf{\#d} é igual à soma da quantidade das que passam pelo centro com a quantidade das que não passam pelo centro:

\mathsf{\#d=\dfrac{n}{2}+70}\qquad\quad\left(\textsf{mas
 }\mathsf{\#d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\right)\\\\\\ 
\mathsf{\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{n}{2}+70}\\\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!
 2\cdot \dfrac{n(n-3)}{\diagup\!\!\!\! 2}=2\cdot 
\left(\dfrac{n}{\diagup\!\!\!\! 2}+70 \right)}\\\\\\ 
\mathsf{n(n-3)=n+140}

\mathsf{n^2-3n=n+140}\\\\ \mathsf{n^2-3n-n-140=0}\\\\ \mathsf{n^2-4n-140=0}


Temos acima uma equação quadrática em \mathsf{n}. Vou resolvê-la usando fatoração por agrupamento.

Reescreva convenientemente \mathsf{-4n} como \mathsf{-14n+10n} e depois fatore:

\mathsf{n^2-14n+10n-140=0}\\\\
 \mathsf{n^2-14n+10n-14\cdot 10=0}\\\\ \mathsf{n(n-14)+10(n-14)=0}\\\\ 
\mathsf{(n-14)(n+10)=0}

\begin{array}{rcl} 
\mathsf{n-14=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n+10=0}\\\\ 
\mathsf{n=14}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{n=-10}\quad\textsf{(n\~ao 
serve, pois }\mathsf{-10<4}\textsf{)} \end{array}


Por fim, encontramos

\mathsf{n=14}\quad\longleftarrow\quad\textsf{n\'umero de lados/v\'ertices do pol\'igono.}


Trata-se então de um tetradecágono regular.

________


A quantidade de diagonais que passam pelo centro deste polígono é a metade da quantidade de vértices:

\mathsf{\dfrac{n}{2}}\\\\\\
 =\mathsf{\dfrac{14}{2}}\\\\\\ 
=\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{7~diagonais} 
\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}


Em um tetradecágono regular, 7 diagonais passam pelo centro.


Bons estudos! :-)


Tags:   número quantidade diagonal centro polígono regular geometria plana

Perguntas interessantes