Question

quantas diagonais não passam pelo centro de um polígono que possui 100 lados?

Answer 1

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Enunciado:

Quantas diagonais não passam pelo centro de um polígono que possui 100 lados?

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Solução:

Assumindo que trate-se de um polígono regular, embora não esteja explícito no enunciado.


Temos um polígono regular com

$\mathsf{n=100~lados}$


Em todo polígono regular com número par de lados, uma diagonal passará pelo centro somente se as extremidades desta diagonal forem vértices diametralmente opostos.

A quantidade de pares de vértices diametralmente opostos em um polígono regular é igual à metade do número total de vértices/lados.

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Para o polígono em questão, temos

$\mathsf{n=100},$

que é par. Portanto, a quantidade de diagonais que passam pelo centro é

$\mathsf{\dfrac{n}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{100}{2}}\\\\\\ =\mathsf{50~diagonais}$

________


Chamemos $\mathsf{x}$ a quantidade de diagonais que não passam pelo centro.


O total de diagonais $\mathsf{\#d}$ é igual à soma da quantidade das que passam pelo centro com a quantidade das que não passam pelo centro:

$\mathsf{\#d=\dfrac{n}{2}+x}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\#d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{n}{2}+x}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n(n-3)}{2}-\dfrac{n}{2}}$

$\mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot \big[(n-3)-1\big]}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot (n-4)}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{100}{2}\cdot (100-4)}$

$\mathsf{x=50\cdot 96}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=4\,800} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Em um polígono regular de 100 lados, 4800 diagonais não passam pelo centro.


Bons estudos! :-)


Tags:   número quantidade diagonal centro polígono regular geometria plana

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o número de diagonais do polígono que não passam pelo centro é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d = 4800\:\:\:}}\end{gathered} }$

Para calcular o número de diagonais de um polígono que não passam pelo centro, cujo número de lados é par,  devemos utilizar a seguinte fórmula:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d = \frac{n^{2} - 4n}{2} \end{gathered} }$

Se o referido polígono possui 100 lados, então:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 100\end{gathered}$

Então, temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d = \frac{100^{2} - 4\cdot100}{2} \end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{10000 - 400}{2} \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{9600}{2} \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4800\end{gathered}$

✅ Portanto, o número de diagonais é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = 4800\end{gathered}$

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