Question

Quantas diagonais não passam pelo centro de um polígono sabendo que o número de diagonais que passam pelo centro é igual a 18

Answer 1

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Enunciado:

Quantas diagonais não passam pelo centro de um polígono, sabendo que o número de diagonais que passam pelo centro é igual a 18?

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Solução:

Assumindo que trate-se de um polígono regular, embora não esteja explícito no enunciado.


Seja $\mathsf{n}$ o número de lados deste polígono.

Observe que se existem diagonais deste polígono que passam pelo seu centro, então $\mathsf{n}$ é necessariamente um número par maior ou igual que 4:

$\mathsf{n\ge 4}\qquad\textsf{com n par, e }\mathsf{n \in\mathbb{N}.}$


Em um polígono regular com número par de lados, uma diagonal passará pelo centro somente se as extremidades desta diagonal forem vértices diametralmente opostos.

A quantidade de pares de vértices diametralmente opostos em um polígono regular é igual à metade do número total de vértices/lados.


Sendo assim, para o polígono em questão, o número total de diagonais que passam pelo centro é

$\mathsf{\dfrac{n}{2}=18}$


de onde tiramos

$\mathsf{n=2\cdot 18}\\\\ \mathsf{n=36}\qquad\quad\checkmark$


Trata-se de um polígono regular de 36 lados.

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Chamemos $\mathsf{x}$ a quantidade de diagonais que não passam pelo centro do polígono em questão.


O total de diagonais $\mathsf{\#d}$ é igual à soma da quantidade das que passam pelo centro com a quantidade das que não passam pelo centro:

$\mathsf{\#d=\dfrac{n}{2}+x}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\#d=\dfrac{n(n-3)}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{n}{2}+x}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n(n-3)}{2}-\dfrac{n}{2}}$

$\mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot \big[(n-3)-1\big]}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{n}{2}\cdot (n-4)}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{36}{2}\cdot (36-4)}$

$\mathsf{x=18\cdot 32}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=576} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


No polígono em questão, 576 diagonais não passam pelo centro.


Bons estudos! :-)


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