Question

Quantas cadeias de 10 bits possuem cinco 0s consecutivos ou cinco 1s consecutivos???
Lembrando que 1 bit vale 0 ou 1

Questão de Análise Combinatória

Answer 1

5 zeros OU 5 uns consecutivos.

A palavra "OU" na matemática tem sentido aditivo, ou seja, você deve somar os casos de um lado do "OU" com os do outro lado.

Vamos calcular a quantidade de casos em que os 5 zeros ficam juntos. Cada "X" representa uma opção, zero ou um. Então, para a Análise Combinatória, usando o P.F.C, são 2 possibilidades a cada "X". Já que são 5 "X", o calculo fica: 2.2.2.2.2 = 32 possibilidades

00000XXXXX (32) *****

X00000XXXX (32)

XX00000XXX (32)

XXX00000XX (32)

XXXX00000X (32)

XXXXX00000 (32) *****

São  6 casos em que os cinco 0's ficam juntos. Assim, 32 x 6 = 192 possibilidades

O raciocínio é análogo ao 1, veja:

11111XXXXX (32) *****

X11111XXXX (32)

XX11111XXX (32)

XXX11111XX (32)

XXXX11111X (32)

XXXXX11111 (32) *****

32 x 6 = 192 possibilidades de terem cinco 1s seguidos.

Assim, seria fácil dizer que a resposta seria 192 + 192 = 384 pois o "OU" está no sentido de soma das condições "cinco 0's consecutivos" ou "cinco 1's consecutivos". Errado!

$\boxed{CUIDADO}$

Existe uma pegadinha nessa questão, que nos induz ao erro, perceba:

Nos casos (marcados com *****) estamos contando algumas possibilidades a mais, observe:

0000011111 (1 possibilidade - contada no 1° caso dos 0's)

1111100000 (1 possibilidade - contada no 6° caso dos 0's)

Se observarmos as possibilidades de organização dos 1s, veremos que elas são as mesmas das destacadas acima,

1111100000 (1 possibilidade - contada no 1° caso dos 1's)

0000011111 (1 possibilidade - contada no 6° caso dos 1's)

Já que repetimos a contagem, devemos compensá-la, diminuindo 2 possibilidades do total (384).

384 - 2 = 382 <<< Total de possibilidades que possuem OU cinco 0's consecutivos OU cinco 1's consecutivos.

Resposta: 382

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