Question

Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?

Answer 1

$V=\dfrac{3}{5}~de~F=\dfrac{3}{5}\cdot F=\dfrac{3F}{5}$

Relação de Euler:

$V+F=A+2\\A=V+F-2$

Trocando V por 3F / 5:

$A=\dfrac{3F}{5}+F-2=\dfrac{3F+5F-10}{5}=\dfrac{8F-10}{5}$
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O poliedro é formado por 'F' faces triangulares. Cada face possui é um triângulo, possui 3 lados. F triângulos possuem 3F lados

O número de arestas do poliedro será a metade desse valor:

$A=\dfrac{3F}{2}$

Só que A = (8F - 10) / 5:

$\dfrac{8F-10}{5}=\dfrac{3F}{2}$

Multiplicando em cruz:

$2(8F-10)=5(3F)\\16F-20=15F\\16F-15F=20\\F=20~~~~~(icosaedro)$

Achando o número de arestas desse poliedro:

$A=\dfrac{3F}{2}=\dfrac{3\cdot20}{2}=3\cdot10~~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{A=30}}$