Question

quando uma raiz cúbica de um número não é exata, podemos calcular sua raiz cúbica aproximada. Vamos calcular aproximadamente da raiz cúbica de 92. sabemos que 92 esta entre quatro elevado a terceira potencia = 64 e 5 está elevado na terceira potencia que igual a 125, ou seja, a raíz cúbica de 92 esta entre 4 e 5.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos uma aproximação para este radical, utilizaremos o Método de Newton-Raphson.

Buscamos o valor aproximado para $\sqrt[3]{92}$.

O método consiste em realizarmos sucessivas iterações, que graficamente se tratam da aproximação da função pela reta tangente à curva. As iterações $x_{n+1}$ é calculada pela fórmula:

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sabemos que o erro, isto é, o módulo da diferença entre o valor encontrado nesta iteração e o valor real, quando $n\rightarrow\infty$ é igual a zero.

Assim, considere uma função polinomial cuja raiz é o valor desejado, isto é: $x^3-92=0$.

Devemos calcular a derivada deste polinômio. Lembre-se que:

• A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Dessa forma, teremos: $f'(x)=3x^2$.

A primeira iteração deverá ser um cubo perfeito, geralmente maior, pois fazemos aproximações por excesso. Sabendo que $4\leq\sqrt[3]{92}\leq 5$, considere $x_n=5$.

Teremos:

$x_1=5+\dfrac{5^3-92}{3\cdot5^2}$

Calcule as potências

$x_1=5+\dfrac{125-92}{3\cdot25}$

Multiplique e some os valores

$x_1=5-\dfrac{33}{75}\\\\\\ x_1=\dfrac{114}{25}$

Visto que o erro é consideravelmente grande, fazemos mais uma iteração:

$x_2=\dfrac{114}{25}-\dfrac{\left(\dfrac{114}{25}\right)^3-92}{3\cdot \left(\dfrac{114}{25}\right)^2}$

Calcule as potências

$x_2=\dfrac{114}{25}-\dfrac{\dfrac{1481544}{15625}-92}{3\cdot \dfrac{12996}{625}}$

Calcule as frações e some os valores

$x_2=\dfrac{114}{25}-\dfrac{\dfrac{44044}{15625}}{\dfrac{38988}{625}}\\\\\\ x_2=\dfrac{114}{25}-\dfrac{44044}{974700}\\\\\\ x_2=\dfrac{1100147}{243675}$

A partir daqui, as iterações ficam imensamente grandes. A exemplo, a iteração $x_3=\dfrac{3994198221477565546}{884776679281719225}$.

Quando calculamos a aproximação desta iteração, temos:

$x_3\approx 4.514357$.

Esta é uma ótima aproximação para o que foi buscado, cujo erro é da ordem de $10^{-8}$.