Question

Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia diminui, afetando a velocidade do ar na traqueia. Se r0 é o raio normal da traqueia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traqueia é dada por uma função da forma v(r) = a r2 (r0 – r), onde a é uma constante positiva. Qual o raio para o qual a velocidade do ar é máxima:

Answer 1

Utilizando derivada, maximos e minimos, temos que a velocidade maxima se da quando o raio da traquia é 2/3 de r0.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que a velocidade do ar na traqueia é dada pela função:

$V(r)=a.r^2(r_0-r)$

$V(r)=a.r_0.r^2-a.r^3$ (aplicando a distributiva).

Para sabermos quando a velocidade é maxima, vamos precisar da derivada desta função, que é dada por:

$V'(r)=2a.r_0.r-3a.r^2$

Agora basta igualarmos a 0, para sabermos os valores extremos de r:

$0=2a.r_0.r-3a.r^2$

$0=a.r(2.r_0-3.r)$

Assim temos dois valores extremos:

$r=0$

$(2r_0-3r=0)\rightarrow r=\frac{2}{3}r_0$

Precisamos saber quals desses é o maximo e qual desses é o minimo, para isto basta analisarmos a função original, pois se o raio for 0, obviamente não iria passar nenhum ar, logo este é o minimo, então a velocidade maxima se da quando o raio da traquia é 2/3 de r0.

Answer 2

Resposta:

r = 0

Explicação passo-a-passo:

resposta anterior não bate com o ava