Question

Quando uma função é derivável ?

Answer 1

se a função é derivável no ponto ..os limites laterais são iguais
e se o limite lateral existe....as derivadas laterais tbm existem
 
$f(x)=\Bmatrix x^2+1 ,\text{ }x\ \textless \ 1\\\\ x+1 ,\text{ }x \geq 1\end$


pela esquerda

$f(x)=x^2+1\\\\f'(x)=2x\\\\f'(1)=2 \to \text{ Derivada a esquerda}$

pela direita

$f(x)=x+1\\\\f'(x)=1\\\\f'(1)=1\to \text{derivada a direita}$

como as derivadas a esquerda e a direita são diferentes
f(x) não é derivavel no ponto
isso acontece porque em x=1 a curva faz uma mudança muito brusca formando um "bico"
 
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$g(x)=\Bmatrix 2x ,\text{ } x \leq 0\\\\\ 2x-x^2 ,\text{ } 0\ \textless \ x\ \textless \ 2\\\\2-x ,\text{ } x \geq 2 \end$

os pontos onde ela pode não ser derivável é onde a curva faz uma mudança
que é em 
x=0 , x=2

a derivada de g(x)
$g'(x)=\Bmatrix 2 ,\text{ } x \leq 0\\\\\ 0 ,\text{ } 0\ \textless \ x\ \textless \ 2\\\\-1 ,\text{ } x \geq 2 \end$

pode-se ver que ela não é derivável em x=0 e nem em x=2

então essa fução é derivavel nos intervalos
]-∞ , 0[ ...... x<0

]0 , 2[ ...... 0<x<2

]2 , +∞[ ..... x>2

acho que é isso ;s 

Answer 2

Função derivável

Uma função é denominada por derivável ou diferenciável quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

A derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite, para isso, leva-se em consideração a inclinação da secante no momento em que os dois pontos de intersecção com o gráfico de convergem para em um mesmo ponto.

Neste limite analisado, tem-se que a inclinação da secante é igual à da tangente.

Em que está análise é válida para as derivadas de forma geral, caso se deseje analisar as derivadas laterais deve-se analisar as restrições e limites de cada função.

Saiba mais sobre função diferenciável em:

https://brainly.com.br/tarefa/4963115

Bons estudos!