Question

Quando um número N é dividido por 18, seu resto é 16. Sabendo que N é múltiplo de 28, quantos inteiros entre 0 e 18 podem ser o resto da divisão quando N/4 for dividido por 18 ?

Answer 1

Resposta:  Dadas as condições do enunciado, só há 02 (duas) opções para o resto da divisão de N/4 por 18: o resto é 4 ou o resto é 13.

Explicação passo a passo:

Um número N dividido por 18 deixa resto 16:

    $\Longrightarrow\quad N=18q_1+16\qquad\mathrm{(i)}$

N é múltiplo de 28:

    $\Longrightarrow\quad N=28q_2\qquad\mathrm{(ii)}$

Igualando (i) e (ii), temos

    $\Longrightarrow\quad 18q_1+16=28q_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 18q_1-28q_2=-16\\\\ \Longleftrightarrow\quad (9q_1-14q_2)\cdot 2=(-8)\cdot 2$

Multiplicando ambos os lados por 1/2, obtemos

    $\Longleftrightarrow\quad 9q_1-14q_2=-8\qquad\mathrm{(iii)}$

Esta é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e possui solução pois

    $\mathrm{mdc}(9,\,14)=1$    e    $1\,|\,8.$

Pelo algoritmo de Euclides, temos

    $\begin{array}{rclcl}14&\!\!\!=\!\!\!&1\cdot 9+5&\quad\Longleftrightarrow\quad&5=14-1\cdot 9\\\\ 9&\!\!\!=\!\!\!&1\cdot 5+4&\quad\Longleftrightarrow\quad&4=9-1\cdot 5\\ &&&& 4=9-1\cdot (14-1\cdot 9)\\&&&& 4=9-1\cdot 14+1\cdot 9\\&&&& 4=2\cdot 9-1\cdot 14 \\\\ 5&\!\!\!=\!\!\!&1\cdot 4+1&\quad\Longleftrightarrow\quad&1=5-1\cdot 4\\ &&&&1=(14-1\cdot 9)-1\cdot (2\cdot 9-1\cdot 14)\\&&&& 1=14-1\cdot 9-2\cdot 9+1\cdot 14\\ &&&& 1=(-3)\cdot 9+2\cdot 14 \end{array}$

Então encontramos

    $(-3)\cdot 9+2\cdot 14=1$

Multiplicando os dois lados por -8, temos

    $\Longrightarrow\quad 24\cdot 9+(-16)\cdot 14=-8\\\\ \Longrightarrow\quad 9\cdot (24)-14\cdot (16)=-8$

Logo, o par ordenado $(24,\,16)$ é uma solução para a equação (iii). Como queremos que os quocientes $q_1$ e $q_2$ sejam todos não-negativos, devemos obter a solução geral. Como mmc(9, 14) = 126, devemos ter

    $\Longrightarrow\quad 9\cdot (24)-126k+126k-14\cdot (16)=-8\\\\ 9\cdot (24)-9\cdot (14k)+14\cdot (9k)-14\cdot (16)=-8\\\\ 9\cdot (24-14k)-14\cdot (-9k+16)=-8$

A solução geral é

    $\left\{\begin{array}{l} q_1=24-14k\\ q_2=-9k+16\end{array}\right.$

com k inteiro.

Para $k\le 1,$ $q_1$ e $q_2$ são naturais:

    $N=28q_2\\\\ \Longrightarrow\quad N=28\cdot (-9k+16)\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N}{4}=7\cdot (-9k+16)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N}{4}=-63k+112\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N}{4}=-72k+9k+108+4\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N}{4}=(-4k+6)\cdot 18+(9k+4) \\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N}{4}\equiv 9k+4\quad(\mathrm{mod~18})$

Se k for par, então

    $9k\equiv 0\quad(\mathrm{mod~}18)\quad \Longrightarrow\quad 9k+4\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}18).$

Se k for ímpar, então

    $9k\equiv 9\quad(\mathrm{mod~}18)\quad \Longrightarrow\quad 9k+4\equiv 13\quad(\mathrm{mod~}18).$

Logo, dadas as condições do enunciado, temos dois restos possíveis na divisão de N/4 por 18: o resto será 4 ou 13.

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Bons estudos! :-)