Question

Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante T0, a temperatura do corpo decresce de acordo com a fórmula T (t)= T0+ae-kt,onde t é o tempo e a,k são constantes positivas .
a) Encontrar a taxa de decréscimo, isto é, dT/dt.
b) Caucular lim T (t).O que significa este resultado em termos da temperatura do corpo?

Answer 1

$T(t)=T_0+ae^{-kt}$

$a) \displaystyle\frac{dT}{dt}=-kae^{-kt}$, pela Regra da Cadeia.

$b) \displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} T(t)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} \biggr(T_0+ae^{-kt}\biggr)=T_0+0=T_0$
Observe que a temperatura inicial do corpo é $T(0)=T_0+a$, do item $b$ podemos inferir que $T_0$ é a temperatura ambiente, logo se $a>0 \implies T(0)>T_0$ (temperatura inicial do corpo é maior que a temperatura ambiente), observe que nesse caso $\displaystyle\frac{dT}{dt}<0$ (pois $k$ é uma constante positiva), indicando que a temperatura vai diminuir com o passar do tempo, o caso em que $a<0$ ocorre o inverso, a derivada é positiva e a temperatura do corpo aumenta com o passar do tempo, se aproximando cada vez mais da temperatura ambiente.