Question

Quando três meninas, Ana, Bia e Carla, e um
menino, Dan, formam uma fila, temos 24 filas
diferentes, como já vimos em problemas ante-
riores. Se, no entanto, o critério para a forma-
ção da fila não for a individualidade das pes-
soas, mas apenas o sexo, serão apenas 4 filas
diferentes formadas por 3 mulheres (M) e um
homem (H), da seguinte forma:
MMMH, MMHM, MHMM, HMMM
Com 5 pessoas, sendo 2 meninas e 3 meninos,
quantas filas diferentes poderão ser formadas
no caso de:
a)ser considerada a individualidade das
pessoas?
b)ser considerado apenas o sexo das pessoas?​

Answer 1

a) Uma fila formada por 5 pessoas poderáser formada de 120 formas diferentes.

Ao se formar uma fila com 5 pessoas diferentes, podemos escolher para ocupar o primeiro lugar da fila qualquer um dentre as 5 pessoas.

Para o segundo lugar da fila, escolhemos qualquer uma das pessoas que não ocupam estão na fila. Ou seja, qualquer uma entre as 4 pessoas restantes

Para o terceiro lugar da fila, escolhemos qualquer uma das pessoas que não ocupam estão na fila. Ou seja, qualquer uma entre as 3 pessoas restantes

Prosseguindo assim vemos que existem 5*4*3*2*1 formas diferentes de colocar 5 pessoas em fila.

Ou seja, existe 120 possibilidades de filas diferentes.

b) Uma fila formada por 2 meninos e 3 meninas poderá ser formada de 10 formas diferentes.

Ao se formar uma fila onde só se considere se 'ehomem ou mulher, teremos como exemplos de filas:

HHMMM

HMMHM

MHMHM

entre outros.

Queremos contar quantas possibilidades diferentes de formar este tipo de fila existem.

Uma forma de contar seria fixando uma das posições

Suponha que eu queira que o primeiro da fila seja homem. Teremos então:

H._._._._

Nas 4 posições restantes teremos 3 mulheres e 1 homem.

Então teremos as seguintes possibilidades

H.H.M.M.M

H.M.H.M.M

H.M.M.H.M

H.M.M.M.H

Estas são as únicas filas possíveis com um homem ocupando o primeiro lugar da fila.

Mas e se ao invés do primeiro lugar, quiséssemos que o homem ocupasse o segundo lugar da fila?

Teremos então as seguintes filas:

H.H.M.M.M

M.H.H.M.M

M.H.M.H.M

M.H.M.M.H

Agora são 3 filas apenas. Repare que a primeira fila é a mesma do caso anterior

Assim podemos conferir que o número de filas será 4+3+2+1=10 filas.