Question

Quando tossimos, a traqueia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traqueia e de como a velocidade do ar próximo as paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela equação v = c (r0-r)r² cm/s, r_0/2 ≤ r ≤ r0 em que r0 é o raio em centímetros da traqueia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende em parte do comprimento da traqueia. Demonstre que a velocidade v atinge o valor máximo quando r = 2/3 r0, ou seja, quando a traqueia está cerca de 33% menor.

Answer 1

Olá

A ideia central de tudo isso é comprovar a velocidade máxima será atingida quando
$r = \frac{2}{3} r0$


temos a função:

v(r) = c(r0–r)r²

aplicando a distributiva em tudo, obteremos a função:

$v(r) = r0c {r}^{2} - c {r}^{3}$
derivaremos esta equação em função de r:

$\frac{dv}{dr} = 2r0cr - 3c {r}^{2}$
igualando a função a 0, obteremos pontos máximos e mínimos:

2r0cr – 3cr² = 0 ← colocando r em evidência:

r(2r0c – 3cr) = 0

ou r = 0 ou 2r0c – 3cr = 0.

isolando r na segunda equação obteremos a segunda raiz:

2r0c – 3rc = 0
– 3rc = – 2r0c
r = – 2r0c / – 3c = 2r0/3

os possíveis pontos máximos e mínimos são 0 e 2r0/3.

O enunciado nos deu uma condição em que r tem que estar r0/2 ≤ r ≤ r0. Como 0 não satisfaz a essa condição, descartamo-o restando o r02/3.

Agora, precisamos confirmar se 2r0/3 é o ponto máximo da velocidade. Derivamos novamente a equação.

$\frac{dv}{dr} = 2r0c - 6cr$

substituímos r por 2r0/3. Se o valor for negativo a velocidade é máxima para r igual a 2r0/3.

$2r0c - \frac{6c \times 2r0}{3} = 2r0c - 4r0c = - 2r0c$

O valor deu negativo. Desta forma, podemos confirmar a velocidade máxima será quando r for 2r0/3.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

R=0