Quando temos uma proposição, podemos demonstrar que é verdadeira utilizando, por exemplo, a dedução, ou mostrar que é falsa, indicando um contra-exemplo, ou seja, um elemento que torna a proposição falsa. Marque a alternativa que contém um contra-exemplo para a seguinte proposição: todo número inteiro positivo pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros.
a)
1.
b)
2.
c)
3.
d)
7.
e)
4.
Soluções para a tarefa
Resposta:
D) 7
Explicação:
O número 7 é um contra-exemplo, pois não pode ser escrito como soma de quadrados de três números inteiros.
Para mostrar que não existem três quadrados que, somados, dão como resultado 7, devemos observar que os únicos quadrados de inteiros possíveis que podemos usar menores que 7 são 0, 1 e 4. Como não existe soma de três termos que resulte 7 com essas parcelas, concluímos que 7 é um contra-exemplo. Assim, mostramos que nem todo inteiro positivo pode ser escrito como a soma de quadrados de três inteiros.
A sentença correta está na alternativa de letra d) 7.
Estratégia de demonstração: contra-exemplo
Analisando todas as alternativas, uma a uma:
a)
O 1 é um número inteiro positivo que pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros, pois:
1 = 0² + 0² + 1²
Logo, a afirmativa é falsa.
b)
O 2 é um número inteiro positivo que pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros, pois:
2 = 0² + 1² + 1²
Logo, a afirmativa é falsa.
c)
O 3 é um número inteiro positivo que pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros, pois:
3 = 1² + 1² + 1²
Logo, a afirmativa é falsa.
d)
Os únicos quadrados possíveis menores que 7 que podemos usar são 0, 1 e 4. Com essas parcelas, não existe soma de três termos que resulte 7.
Dessa forma, 7 é um contra-exemplo para a proposição dada.
e)
O 4 é um número inteiro positivo que pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros, pois:
4 = 0² + 0² + 2²
Logo, a afirmativa é falsa.
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