Quando se deriva uma função f(x,y) duas vezes, produz-se sua derivada parcial de segunda ordem. Essas derivadas têm notações especiais conforme o diagrama a seguir:
Sobre isso, é verdadeiro afirmar:
I- A representação fxx significa derivada parcial de segunda ordem em “x”, isso quer dizer que, primeiramente derivamos parcialmente a função f(x,y) em “x” e, depois, com o resultado, derivamos novamente parcialmente, pela segunda vez, em “x”.
II- As representações fxy e fyx são chamadas derivadas parciais de segunda ordem “mistas” e seus resultados são sempre iguais.
III- As representações fxx e fyy são derivadas parciais de segunda ordem com “índice (x ou y)” de apenas uma variável e são chamadas derivadas puras.
Estão corretas:
A)
Apenas a afirmação I.
B)
Apenas as afirmações II e III.
C)
Todas as afirmações.
D)
Apenas as afirmações I e III.
E)
Apenas a afirmação II.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra C todas as afirmações
Explicação passo-a-passo:
ta na foto
As afirmações corretas sobre derivadas parciais de segunda ordem são as afirmações I e III, portanto, a alternativa D.
Derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis
Dada uma função de duas variáveis f(x,y), usamos a notação fxx quando representar a derivada parcial de segunda ordem em relação à variável x, isso significa que derivamos parcialmente a função f em relação à variável x e, em seguida, derivamos o resultado novamente em relação à variável x. Por exemplo, se f(x,y) = xy + cos(x), temos que fx = y - sen(x) e, portanto, fxx = - cos(x). Dessa forma, temos que a afirmação I é verdadeira.
Usamos a notação fxy para denotar a função encontrada quando derivamos parcialmente a função f em relação à variável x e derivamos parcialmente o resultado encontrado em relação à y. A notação fyx é utilizada para denotar a derivada parcial da função f, quando derivamos em relação à variável y e, em seguida em relação à y. Chamamos essas derivadas de derivadas parciais de segunda ordem mistas, mas os valores dessas derivadas são iguais apenas quando fxy e fyx são funções contínuas (teorema de Clairaut). Temos, portanto, que a afirmação II é falsa.
As derivadas de segunda ordem fxx é fyy são chamadas derivadas parciais de segunda ordem puras, ou seja, a afirmação III é verdadeira.
Dessa forma, podemos concluir que, a resposta correta é a alternativa D.
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