Question

Quando o preço de um tipo de camiseta é 40,00 reais, são vendidas 200 unidades dessa camiseta por mês.O proprietário da loja constatou que, dentro de certos limites, cada redução de 1,00 real provoca um aumento nas vendas de 10 camisetas mensais. supondo que esses limites sejam obedecidos, faça o que se pede. a) Obtenha a lei de associação que expressa a receita mensal da loja, com a venda desse tipo de camiseta, em função da redução no preço, em real. b) para determinada redução no preço, o comerciante obtém receita máxima mensal com a venda dessas camisetas. qual é essa receita?

Answer 1

a) A expressão que representa a receita da loja é: R(x) = - 10x² + 200x + 8000.

b) A receita máxima é R$9.000,00.

Inicialmente, veja que a receita é resultado do produto entre a quantidade de camisetas vendidas e o preço unitário delas. Ao subtrair uma parcela desse preço, aumentamos dez parcelas do número de camisetas vendidas. Com isso em mente, temos a seguinte expressão:

$R(x)=(40-x)(200+10x)=8000+400x-200x-10x^2\\ \\ \boxed{R(x)=-10x^2+200x+8000}$

Com essa expressão, podemos determinar o valor de X referente ao lucro máximo de vendas de camiseta. Para isso, devemos derivar a função e igualar a zero. Depois, substituímos esse valor de X na equação original para determinar o valor da receita máxima. Portanto:

$R(x)=-10x^2+200x+8000\\ \\ R'(x)=-20x+200=0\\ \\ 20x=200\\ \\ \boxed{x=10} \\ \\ \\ R(10)=-10\times 10^2+200\times 10+8000=-1000+2000+8000\\ \\ \boxed{R_{max}=9000}$