Question

Quando necessário, use que log 2= 0,3 e log 3 = 0,5.
1. Calcule o valor de a.
a) loga 729 = 2
b) log a – log (a – 5) = 2. log $\frac{3}{2}$

Answer 1

a)

Aplicando a definição de logaritmo:

$\log_{_a}729~=~2~~\Longleftrightarrow~~729~=~a^2$

Vamos então resolver a equação exponencial.

Vamos reescrever 729 como uma potência de expoente 2, lembrando que "a" deve ser positivo, respeitando as condições de existência dos logaritmos.

$27^2~=~a^2$

Chegamos em uma igualdade de potências de mesmo expoente.

Para que a igualdade seja mantida e "a" seja positivo, necessariamente, as bases deverão ser também iguais, portanto:

$27^{\backslash\!\!\!2}~=~a^{\backslash\!\!\!2}\\\\\\\boxed{a~=~27}$

b)

$\log a-\log\,(a-5)~=~2\cdot\log \left(\dfrac{3}{2}\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente no membro esquerdo da equação:

$\log\left(\dfrac{a}{a-5}\right)~=~2\cdot\log \left(\dfrac{3}{2}\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência no membro direito da equação:

$\log\left(\dfrac{a}{a-5}\right)~=~\log \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\!2}\\\\\\\\\log\left(\dfrac{a}{a-5}\right)~=~\log \left(\dfrac{9}{4}\right)$

Chegamos em uma igualdade de logaritmos de mesma base (10).

Para que a igualdade seja mantida, necessariamente os logaritmandos devem também ser iguais, logo:

$\backslash\!\!\!\!\!\log\left(\dfrac{a}{a-5}\right)~=~\backslash\!\!\!\!\!\log \left(\dfrac{9}{4}\right)\\\\\\\\\dfrac{a}{a-5}~=~\dfrac{9}{4}\\\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\9\cdot(a-5)~=~4\cdot a\\\\\\9a-45~=~4a\\\\\\5a~=~45\\\\\\a~=~\dfrac{45}{5}\\\\\\\boxed{a~=~9}$

Esse valor (a=9) respeitas as condições de existência dos logaritmos (base positiva diferente de 1 e logaritmando positivo), portanto a=9 é solução da equação dada.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$