Question

Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo maior que 1, teremos um vetor maior que o original com o mesmo sentido do vetor anterior. Dessa maneira, considere o arranjo vetorial da figura a seguir nesta configuração: | a |=3, | b |=2 e | c |=4.

Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo do vetor V =3 a + b -2 c .

$\sqrt{ 200$
$\sqrt{ 310$
$\sqrt{ 500$
$\sqrt{ 293$
$\sqrt{ 400$

Answer 1

Resposta:

os vetores 3a e 2c devem ser somados. Em termos de  cálculos, teremos 3a-2c=9+8=17. Com esse resultado, usamos o teorema de Pitágoras para encontrarmos √293 (corrigido na prova)

Explicação passo a passo:

Answer 2

O módulo do vetor V = 3a + b - 2c vale $\sqrt{293}$.

Alternativa D.

Determinando o vetor soma.

Para determinar o vetor soma, devemos:

• Expressar os vetores a, b e c em termos de suas componentes ax e ay.

• Multiplicar a, b e c pelos seus respectivos escalares 3, 1 e -2

• Somar o resultado e obter o vetor V.

• Obter o módulo de V

Como expressar os vetores a, b e c em termos de suas componentes?

Vamos tomar como exemplo o vetor A do enunciado e o plano cartesiano x e y usual (x na abscissa e y na ordenada).

Verificamos que:

• O módulo do vetor A é 3.

• O vetor A está totalmente na vertical.

• Portanto possui apenas uma componente no eixo y de mesmo módulo do vetor.

• O seu sentido aponta para cima, ou seja, sua componente ay terá valor positivo pois o vetor aponta para o sentido positivo do eixo y.

Portanto, o vetor A pode ser expresso:

• A = 0*ax + |A|*ay
• A = 0*ax + 3*ay
• A = 3*ay

Seguindo a mesma lógica para o vetor b, verificamos que:

• O módulo do vetor B é de 2.

• O vetor está totalmente na horizontal.

• Portanto possui apenas uma componente no eixo x de mesmo módulo do vetor.

• O seu sentido aponta para a direita. Ou seja, sua componente ax terá valor positivo pois o vetor aponta para o sentido positivo do eixo x.

O vetor B pode ser expresso:

• B = |B|*ax+0*ay
• B = 2*ax+0*ay
• B = 2*ax

Por fim, observando o vetor c verificamos:

• O módulo do vetor C é de 4.

• O vetor está totalmente na vertical

• Portanto possui apenas uma componente no eixo y de mesmo módulo do vetor.

• O seu sentido aponta para baixo. Ou seja, sua componente ay terá valor negativo pois o vetor aponta para o sentido negativo do eixo y.

Sendo o vetor c representado por:

• C = 0*ax - |C|*ay
• C = 0*ax - 4*ay
• C = -4*ay.

Multiplicando os vetores pelos escalares e obtendo o vetor V

Sabemos que:

• a = 3*ay
• b = 2*ax
• c = -4*ay.

O enunciado nos diz que o vetor V é igual a:

• V = 3*a + b -2*c

Substituindo os valores de A,B e C na equação de V, obtemos:

• V = 3*(3*ay)+ (2*ax) -2*(-4*ay)
• V = 9ay + 2ax + 8ay
• V = 2ax + (9+8)ay
• V = 2ax + 17ay

Como obter o módulo do vetor V?

O módulo de um vetor V = X*ax + Yay é dado por:

• $|V| = \sqrt{X^2+Y^2}$

Sendo o nosso vetor V definido por:

• V = 2ax + 17ay

O módulo do vetor V será:

• $|V| = \sqrt{2^2+17^2}$
• $|V| = \sqrt{4+289}$
• $|V| = \sqrt{293}$

Portanto, o módulo do vetor V vale $\sqrt{293}$, sendo a alternativa D a correta.

Aprenda mais sobre Soma de Vetores em:

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