Question

Quando integramos uma função, em termos de métodos, o objetivo é simplificar o máximo possível o integrando para que possamos chegar a uma integral básica ou tabelada. Um dos artifícios algébricos para que possamos simplificar o integrando é a substituição ou a troca de variáveis.

Neste exercício temos a integral dada por . Observe que não podemos classificá-la como sendo uma integral básica.

Sendo assim, qual é o resultado da integral?

Answer 1

Pretendemos calcular o integral:

$\displaystyle \int 2x\sqrt{x^2 + 1}\textrm{ d}x.$

Definimos então $u = x^2 + 1$. Diferenciando, temos:

$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} = 2x \iff \textrm{d}u = 2x\textrm{ d}x.$

O integral fica então:

$\displaystyle \int \underbrace{\sqrt{x^2 + 1}}_{=\sqrt{u}} \times \underbrace{2x\textrm{ d}x}_{=\textrm{d}u} = \int \sqrt{u}\textrm{ d}u = \int u^{1/2}\textrm{ d}u = \dfrac{u^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C,$

com $C \in \mathbb{R}$. Voltando a substituir $u = x^2 + 1$, obtemos por fim:

$\displaystyle \boxed{\int 2x\sqrt{x^2 + 1}\textrm{ d}x = \dfrac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C}.$