Question

Quando integramos uma função, em termos de métodos, o objetivo é simplificar o máximo possível o integrando para que possamos chegar a uma integral básica ou tabelada. Um dos artifícios algébricos para que possamos simplificar o integrando é a substituição ou a troca de variáveis. 
 
Neste exercício temos a integral dada por . Observe que não podemos classificá-la como sendo uma integral básica. 
 
Sendo assim, qual é o resultado da integral?​

Answer 1

O resultado da integral é $\frac{2}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$.

Queremos calcular a integral indefinida $\int\ {2x\sqrt{1+x^2}} \, dx$.

Observe que para calcularmos essa integral, utilizaremos o método da substituição simples.

Vamos considerar que u = 1 + x².

Derivando u, obtemos: du = 2x.dx.

Sendo assim, a integral indefinida é igual a ∫√u.du.

A integral da raiz quadrada é igual a $\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$.

Como definimos que u = 1 + x², podemos concluir que o resultado da integral $\int\ {2x\sqrt{1+x^2}} \, dx$ é igual a $\frac{2}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$.

Como a integral é indefinida, então devemos somar a constante C ao resultado encontrado acima.

Portanto, podemos concluir que o resultado da integral é $\frac{2}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$.