Question

Quando eu tenho apenas um lado de um triângulo retângulo e seu ângulo, como eu faço para descobrir os outros lados?

Answer 1

você poderia usar uma das razões trigonométricas.

Answer 2

Vamos lá.

É simples, Lucas, veja:
Digamos que você tenha um triângulo ABC, retângulo em B e com o ângulo A igual a 30º. Ora se o ângulo A tem 30º graus, e o triângulo é retângulo, então o ângulo B tem 90º, ficando o ângulo C com 60º, pois: 30+60º+90º = 180º (que é a soma dos ângulos internos de um triângulo).
Como você vê, se o triângulo é retângulo (já se sabe que ele tem um ângulo de 90º) e como já sabemos que um dos ângulos tem 30º, então o outro será de 60º, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo dá 180º.
Bem, mas até agora falamos apenas dos ângulos. Precisa-se saber quais são as medidas dos lados. Então digamos que sabemos qual é a medida da hipotenusa (lado AC), que teria a medida de 5 cm.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se o triângulo é retângulo em B e o  ângulo A tem 30º, e sabendo-se que, num triângulo retângulo, sen(30º) = cateto oposto/hipotenusa, então teremos a seguinte relação métrica:

sen(A) = cateto oposto/hipotenusa. Note que o lado oposto ao ângulo A será o lado BC e a hipotenusa tem 5cm (que é o lado AC) Logo, teremos:

sen(30º) = BC/5 ----- como sen(30º) = 1/2, então teremos:
1/2 = BC/5 ---- multiplicando em cruz, teremos:
5*1/2 = BC
5/2 = BC  --- ou, invertendo-se:
BC = 5/2 cm ------ Esta é a medida do lado BC.

ii) Agora vamos calcular o lado AB, considerando-se o seno de 60º. Assim, teremos:

sen(60º) = cateto oposto/hipotenusa

Como sen(60º) = √(3)/2 e considerando-se que o lado oposto ao ângulo de 60º é o lado AB e que a hipotenusa mede 5cm, então teremos:

√(3)/2 = AB/5 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
5*√(3)/2 = AB
5√(3) / 2 = AB ---- vamos apenas inverter, ficando:
AB = 5√(3) / 2 cm <--- Esta é a medida do lado AB.

iii) Assim, como já vimos, tem-se que:

- medida da hipotenusa (lado AC) = 5 cm
- medida do lado BC = 5/2 cm
- medida do lado AB = 5√(3)/2 cm

Pronto. As medidas de cada lado são os que demos aí em cima.
Aí você poderá perguntar: mas está correto isso?
Resposta: para saber se está correto, você aplica Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado). Então vamos ver se isso é verdade:

(AC)² = (AB)² + (BC)² ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
5² = [5√(3)/2]² + (5/2)²
25 = 25*3/4 + 25/4
25 = 75/4 + 25/4 ---- ou, o que é a mesma coisa:
25 = (75+25)/4
25 = (100)/4 ----- note que 100/4 = 25. Então:
25 = 25 <--- Olha aí como é verdade.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.