Question

quando estamos interessados em determinar a primitiva de uma função, f (x), somos levados a pensar em outra função, F (x) que ao ser derivada resulta em f (x). Em linguagem matemática temos a seguinte sentença: F'(x)=f(x). De acordo com esse contexto, é necessário que tenhamos cuidado com a constante C, que deve ser adicionado à primitiva, lembrando que a derivada da constante é zero. Dessa forma, estamos encontrando uma família de funções que ao ser derivada resulta em f(x). Quando se interessa conhecer uma função especifica que oertença a essa familia, podemos construir uma restrição, um ponto, que contribui para especificar o valor de C. Seja f, uma função de R em R, definida pela seguinte sentença f(x)=x^4-3x^2+4, assinale a alternativa que apresenta o valor de C da função ao qual o ponto (3 , 4) pertença

Answer 1

Temos que encontrar F(x), para determinar o valor de C. Sabemos que:

$F'(x) = f(x)$

Escrito de outra forma:

$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$

$dF(x) = f(x)dx$

Para retirar o diferencial em F(x) e restar somente o F(x) que precisamos, aplique a integral:

$\int{dF(x)}=\int{f(x)dx}$

$F(x) = \int{f(x)dx}$

Logo:

$f(x) = x^4-3x^2+4$

$F(x) = \int{(x^4-3x^2+4)dx}$

$F(x) = \int{x^4dx}- \int{3x^2dx}+ \int{4dx}$

$F(x) = \frac{x^5}{5}-\frac{3x^3}{3}+4x+C$

$F(x) = \frac{x^5}{5}-x^3+4x+C$

Fazendo: $x = 3=> F(3) = 4$

$F(3) = \frac{3^5}{5}-3^3+4(3)+C$

$\frac{243}{5}-27+12+C=4$

$\frac{243}{5}-15+C=4$

$C=4+15-\frac{243}{5}$

$C=\frac{20}{5}+\frac{75}{5}-\frac{243}{5}$

$C=\frac{95-243}{5}$

$C=\frac{-148}{5}$

$C=-29,6$