Question

Quando dividimos um polinômio P(x) por (x - 1) obtemos resto 1 e quando dividimos P(x) por (x + 1) obtemos resto -5 .
Desta forma, quando dividimos P(x) por (x2 - 1) obteremos resto...?

Answer 1

Resposta:

O resto pedido é r(x) = 3x - 2

Explicação passo a passo:

x² - 1 = (x + 1)(x - 1)

p(x) = (x - 1)q₁ dá reso 1 e p(x) = (x + 1)q₂ dá resto -5

r₁ = p(1) = 1 e r₂ = p(-1) = -5

p(x) = q₁(x - 1) + 1  e  p(x) = q₂(x + 1) - 5

p(x) = (x - 1)(x + 1)q₃ + R

Como o divisor de p(x) é do segundo grau então, o resto da divisão de p(x) por esse produto é do 1° grau, da forma ax + b.

p(x) = (x - 1)(x + 1)q₃ + ax + b

p(1) = (1 -1 )(1 + 1)q₃ + a.1 + b , (veja que esse produto(1 -1 )(1 + 1)q₃  é 0)

p(-1) = (-1 -1)(-1 + 1).q₃ + a(-1) + b , veja que esse produto ((-1 -1)(-1 + 1).q₃ é 0)

Logo:

1 = a + b

-5 = -a + b

_________

-4 = 2b

b = -4 : 2

b = - 2

1 = a - 2

a = 1 + 2

a = 3

O resto pedido é r(x) = 3x - 2