Question

Quando desejamos formar agrupamentos em que a ordem dos elementos é irrelevante, pode-se empregar o conceito de combinação simples, sendo seu número determinado a partir da fórmula correspondente, envolvendo a notação fatorial.



A partir da leitura do trecho acima fica evidente o papel da combinação simples na formação de agrupamentos. Assim, considerando os conteúdos estudados no livro da disciplina, analise as afirmativas a seguir sobre uma turma de universidade composta por doze estudantes, os quais devem ser divididos em duplas, trios ou quartetos, e agrupados, desconsiderando a ordem de seus elementos.



I. O número de duplas que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de trios nessa mesma turma.

II. O número de quartetos que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de duplas nessa mesma turma.

III. O número de trios que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de quartetos nessa mesma turma.

IV. O número de trios que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de duplas nessa mesma turma.
Está correto apenas o que se afirma em:

a.
II, III e IV.

b.
II e IV.

c.
I, II e III.

d.
I e III.

e.
I e IV.

Answer 1

Os cálculos necessários para a correta avaliação das proposições dadas são fornecidos a seguir.

Explicação:

A fórmula para combinação simples é:

$C_{n,p}=\frac{n!}{p!\;.\;(n-p)!}$

Logo,

$C_{12,2}=\frac{12!}{2!\;.\;(12-2)!}\\\\C_{12,2}=\frac{12!}{2\;.\;10!}\\\\C_{12,2}=\frac{12\;.\;11\;.\;10!}{2\;.\;10!}\\\\C_{12,2}=\frac{12\;.\;11}{2}\\\\C_{12,2}=66\;duplas$

$C_{12,3}=\frac{12!}{3!\;.\;(12-3)!}\\\\C_{12,3}=\frac{12!}{3!\;.\;9!}\\\\C_{12,3}=\frac{12\;.\;11\;.\;10\;.\;9!}{3\;.\;2\;.\;1\;.\;9!}\\\\C_{12,3}=\frac{12\;.\;11\;.\;10}{6}\\\\C_{12,3}=220\;trios$

$C_{12,4}=\frac{12!}{4!\;.\;(12-4)!}\\\\C_{12,4}=\frac{12!}{4!\;.\;8!}\\\\C_{12,4}=\frac{12\;.\;11\;.\;10\;.\;9\;.\;8!}{4\;.\;3\;.\;2\;.\;1\;.\;8!}\\\\C_{12,4}=\frac{12\;.\;11\;.\;10\;.\;9}{24}\\\\C_{12,4}=495\;quartetos$

Os cálculos acima nos permitem agora analisar as afirmativas.

I. O número de duplas que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de trios nessa mesma turma.

Falsa - 66 < 220

II. O número de quartetos que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de duplas nessa mesma turma.

Verdadeira - 495 > 66

III. O número de trios que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de quartetos nessa mesma turma.

Falsa - 220 < 495

IV. O número de trios que pode ser formado a partir desse grupo é superior ao número de duplas nessa mesma turma.

Verdadeira - 220 > 66

Portanto, a alternativa correta é a letra b.