Question

Quando desejamos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma aplicação financeira, e a taxa de juros incide sobre o saldo e a cada depósito. Para o empréstimo na instituição financeira aplica-se o juro composto, que é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Após alguns anos de namoro e noivado, o casal decidiu pelo casamento. Entre tantas despesas para realização da cerimônia, a de maior valor, é a festa para 200 convidados. O buffet escolhido e que atendia as exigências do casal cobrou o valor de R$ 40.000,00, com pagamento na data de assinatura do contrato. Não dispondo de todo capital,foi necessário algumas providências, como vender uma motocicleta e solicitar um financiamento junto a uma instituição financeira. Com a venda da moto receberam R$ 15.000,00 parcelado em 3 vezes com pagamento mensal. Como iriam assinar o contrato com buffet após 4 meses esta quantia será aplicada em uma financeira que paga taxa de juros de 1% ao mês, capitalizados mensalmente.

Qual será o montante destes depósitos na data final? A diferença para completar o valor cobrado pelo buffet será obtido por um financiamento com taxa de juros de 1,5% ao mês durante 12 meses. Qual será o valor de cada prestação?

Answer 1

O montante do resultante aplicado com a venda da moto foi R$ 15.302,005.

O valor das prestações do financiamento foi de R$ 2.264,32.

Como o valor recebido pela moto foi recebido em 3 parcelas mensais, foi aplicado durante os 3 meses o valor de:

x  = 15000 / 3

x = R$ 5.000,00

A fórmula para calcular o valor acumulado após os 4 meses de aplicação, lembrando que no 4° mês não foi abonado nenhum valor a mais:

$\boxed{M = C * \frac{(1+i)^{n+1}-1}{i} - 1}$

onde,

M: Montante acumulado no período;

C: valor de cada depósito periódico, no caso, R$ 5.000,00;

i: taxa, no caso, 1% a.m.;

n: número de depósitos da aplicação, no caso, 3.

Aos cálculos:

M = C * ((1 + i)ⁿ⁺¹ - 1 / i) - 1

M = 5000 * (((1 + 0,01)³⁺¹ - 1 / 0,01) - 1)

M = 5000 * (((1,01)⁴ - 1 / 0,01) - 1)

M = 5000 * ((1,04060401 - 1 / 0,01) - 1)

M = 5000 * ((0,04060401 / 0,01) - 1)

M = 5000 * (4,060401 - 1)

M = 5000 * 3,060401

M = R$ 15.302,005

O valor restante para completar o valor do buffet:

x = 40000 -15302,005

x = R$ 24.697,995

Para saber quanto o casal vai pagar pelas prestações desse financiamento, vamos primeiro encontrar o coeficiente de financiamento (CF):

$\boxed{CF = \frac{i}{1 - \frac{1}{(1+i)^n} } }$

Aos cálculos:

CF = i / (1 - (1 / (1 + i)ⁿ))

CF = 0,015 / (1 - (1 / (1 + 0,015)¹²))

CF = 0,015 / (1 - (1 / (1,015)¹²))

CF = 0,015 / (1 - (1 / 1,195618))

CF = 0,015 / 0,163612

CF = 0,09168

O valor das prestações (PMT):

PMT = PV * CF

PMT =  24.697,995 * 0,09168

PMT = R$ 2.264,32

Answer 2

Resposta:

=> Montante da aplicação da venda da moto = R$15.302,01

=> Valor da prestação do Financiamento = R$2,264,31

Explicação passo-a-passo:

.

NOTAS PRÉVIAS IMPORTANTES:

=> Tem sido postados comentários nesta tarefa (e em outras) indicando o resultado como errado ...mas será o gabarito do portal que está errado!! (aliás erros de gabarito nos portais do AVA são mais do que muitos).

=> Esta resolução abaixo vai DETALHADA, bem EXPLICADA ..e até CONFIRMADA por "abordagens de resolução" diferentes umas das outras.

=> Por este motivo peço aos alunos do ensino á distancia (AVA) que, em vez de postarem comentários que só aumentam a confusão a outros usuários, copiem esta resolução e a enviem aos vossos Tutores ..caso o gabarito de algum dos portais indique esta resolução como errada.

Segue raciocínio da questão:

VENDA DA MOTA:

=> A venda é efetuada (em parcelas) sem juros (nada no texto indica o contrário).

=> Cada parcela recebida é aplicada a uma taxa de 1% até á data do contrato do fornecimento do buffet

=> A venda da mota é uma transmissão de uma propriedade e como tal (se nada for indicado no texto - como é este caso) deve ser considerado que a primeira parcela será paga no ato da entrega do bem.

=> Cálculo do montante gerado efetuado de 3 formas:

    Série Uniforme de Pagamentos Antecipada    

    Capitalização individual de cada parcela

    Coeficiente de Financiamento (CF)

Resolução por Série Uniforme de Pagamentos Antecipada

Formula a aplicar:

VF = PMT . [(1 + i)ⁿ - 1]/ i

onde:

VF = Valor Futuro, neste caso o Montante a determinar

PMT = Valor da parcela mensal, neste caso PMT = 5000

i = Taxa de juro da aplicação, neste caso i = 1 ...ou 0,01 (de 1/100)

n = Número de parcelas (prazo da aplicação) = 3

Resolvendo:

VF = PMT . [(1 + i)ⁿ - 1]/ i

VF = 5000 . [(1 + 0,01)³ - 1] / 0,01

VF = 5000 . [(1,01)³ - 1] / 0,01

VF = 5000 . (1,030301 - 1) / 0,01

VF = 5000 . 0,030301 / 0,01

VF = 5000 . 3,0301

VF = 15302,01  <= Montante gerado pela aplicação da venda da mota

Resolução por Capitalização individual de cada parcela

..Os períodos (ciclos) de capitalização são (respetivamente) para a 1ª parcela "n = 3" ..para a 2ª parcela "n = 2" ...para a 3ª parcela "n = 1"

Assim

M = 1ªPMT . (1 + i)³ + 2ªPMT . (1 + i)² + 3ªPMT . (1 + i)¹

M = 5000 . (1,01)³ + 5000 . (1,01)² + 5000 . (1,01)¹

M = 5000 . (1,030301) + 5000 . (1,0201) + 5000 . (1,01)

M = (5151,505) + (5100,50) + (5050,00)

M = 15302,01 <= Montante gerado pela aplicação da venda da mota

Resolução por Coeficiente de Financiamento (CF)

Formula a aplicar:

CF = [ i / 1 - (1/(1 + i)ⁿ]

substituindo:

CF = [ i / 1 - (1/(1 + i)ⁿ]

CF = [ 0,01 / 1 - (1/(1 + 0,01)³]

CF = [ 0,01 / 1 - (1/(1,01)³]

CF = [ 0,01 / 1 - (1/(1,030301)]

CF = [ 0,01 / 1 - (0,97059)]

CF = (0,01) / (0,02941)

CF = 0,340022 <= Coeficiente de Financiamento

donde

PMT = CF . Valor de venda da mota

PMT = 0,340022 . 15000

PMT = 5100,332

Montante = PMT . (Número de parcelas)

Montante = 5100,332 . 3

Montante = 15301,00 <= montante final por CF

...note que o cálculo do montante por CF não fará muito sentido dado que a fórmula utilizada no mercado de capitais será a da Série Uniforme ...no entanto a diferença é minima pelo que podemos considerar como 3º meio de prova do Montante gerado pela aplicação das parcelas recebidas da venda da moto.

CÁLCULO DO VALOR DO FINANCIAMENTO NECESSÁRIO

O valor do financiamento será dado por:

Valor do Financiamento = Valor do buffet - Montante da aplicação anterior

Valor do Financiamento = 40.000,00 - 15.302,01

Valor do Financiamento = 24.698,00

CÁLCULO DA PRESTAÇÃO DO FINANCIAMENTO

=> nesta aplicação não há uma "transmissão de propriedade" pelo que deve ser SEMPRE considerado como uma Série Postecipada ...desde que nada no texto indique outro inicio e/ou diferimento dos pagamentos (como é este caso)

=> Assim vamos considerar como Série Postecipada

Temos a fórmula:

PMT = (PV . i) / [1 - (1 + i)⁻ⁿ]

Resolvendo:

PMT = (PV . i) / [1 - (1 + i)⁻ⁿ]

PMT = (24698,00 . 0,015) / [1 - (1 + 0,015)⁻¹²]

PMT = (370,4699) / [1 - (1,015)⁻¹²]

PMT = (370,4699) / (1 - 0,836387)

PMT = (370,4699) / (0,163613)

PMT = 2.264,31 <= Valor da prestação mensal do financiamento restante

=> Considerando o Coeficiente de Financiamento:

Formula a aplicar:

CF = [ i / 1 - (1/(1 + i)ⁿ]

substituindo:

CF = [ i / 1 - (1/(1 + i)ⁿ]

CF =  i / [1 - (1 + i)⁻ⁿ]

CF =  0,015 / [1 - (1 + 0,015)⁻¹²]

CF =  0,015 / [1 - (1,015)⁻¹²]

CF =  0,015 / (1 - 0,836387)

CF =  0,015 / (0,163613)

CF = 0,09168

PMT = VP . CF

PMT = 24698,00 . 0,09168

PMT = 2.264,31 <= Valor da prestação mensal do financiamento restante

Espero que esta resolução (bem detalhada e explicada) seja útil para para futuros estudantes e para a eventual "atualização" de gabaritos errados que possam existir em algum dos portais.

Bons estudos