Question

Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 0,0C para 100C, seu comprimento aumenta de 0,23%...?(A) Determine a variação percentual da massa específica

Answer 1

Boa noite!

Antes de sofrer o aquecimento, a massa específica do cilindro é dada por:

$\rho=\frac{m}{V}$ ,

onde m é a massa e V é o volume do cilindro.

Quanto ao volume, temos:

$V=\pi{r^2}\cdot{L}$ ,

onde r é o raio do cilindro e L é o seu comprimento. Com isso, podemos escrever a massa específica como:

$\rho=\frac{m}{\pi{r^2}\cdot{L}}$

Agora, vamos supor que o cilindro passou pelo processo de dilatação que está no seu enunciado. Teremos uma dilatação linear tanto do raio do cilindro quando de seu comprimento, pois a dilatação se dá em todas as direções. Além disso, temos que a massa não se altera!

O novo raio e o novo comprimento podem ser escritos como:

$r'=(1+0,0023)r=1,0023r$
$L'=(1+0,0023)L=1,0023L$

A nova massa específica será:

$\rho'=\frac{m}{\pi{r'^2}\cdot{L'}}$
$\rho'=\frac{m}{\pi{(1,0023r)^2}\cdot{(1,0023L)}}$
$\rho'=\frac{m}{\pi{1,0023^2r^2}\cdot{(1,0023L)}}$
$\rho'=\frac{1}{1,0023^3}\frac{m}{\pi{r^2}\cdot{L}}$
$\rho'=0,9931\cdot{\frac{m}{\pi{r^2}\cdot{L}}}$

Note que o termo a direita é simplesmente a massa específica antes da dilatação, isto é,

$\rho'=0,9931\cdot\rho$

Da expressão acima, fica evidente que a nova massa específica corresponde a 99,31% da massa específica do cilindro. Ou seja, a variação percentual da massa específica foi de 0,69%.

Answer 2

Antes de sofrer o aquecimento, a massa específica do cilindro é dada por:

,

onde m é a massa e V é o volume do cilindro.

Quanto ao volume, temos:

,

onde r é o raio do cilindro e L é o seu comprimento. Com isso, podemos escrever a massa específica como:

Agora, vamos supor que o cilindro passou pelo processo de dilatação que está no seu enunciado. Teremos uma dilatação linear tanto do raio do cilindro quando de seu comprimento, pois a dilatação se dá em todas as direções. Além disso, temos que a massa não se altera!

O novo raio e o novo comprimento podem ser escritos como:

A nova massa específica será:

Note que o termo a direita é simplesmente a massa específica antes da dilatação, isto é,

Da expressão acima, fica evidente que a nova massa específica corresponde a 99,31% da massa específica do cilindro. Ou seja, a variação percentual da massa específica foi de 0,69%.