Matemática, perguntado por giliarluis, 1 ano atrás

quamtas senhas de 5 digitos distintos e possivel criar utilizando os algarismos de 0a 9?

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo

Resposta:

30240 senhas.

Explicação passo-a-passo:

Aqui temos uma situação diferente do que ocorre na formação de números, onde o zero não pode ocupar a posição de ordem mais alta. No caso de formação de senhas, não existem restrições para formá-las, isto é, qualquer algarismo pode ocupar qualquer uma das cinco posições disponívels para a senha. Inclusive, o zero pode ocupar a 1ª posição de uma senha sem nenhum problema.

Como não há restrições, temos 10 algarismos, e queremos formar senhas com 5 posições:

___ ___ ___ ___ ___

Alterando a ordem de escolha dos números obtemos senhas diferentes. Por exemplo, a senha 01234 é diferente da senha 01324, mesmo que ambas sejam formadas pelos mesmos algarismos, diferindo uma da outra apenas pela ordem dos dígitos. Se a mudança na ordem dos elementos é suficiente para gerar resultados distintos, então temos um problema de arranjos simples.

Nesta tarefa, temos que arranjar 10 elementos entre as 5 posições possíveis.

• Para a 1ª posição, temos 10 possibilidades.

• Para a 2ª posição, temos 10 − 1 = 9 possibilidades.

• Para a 3ª posição, temos 9 − 1 = 8 possibilidades.

• Para a 4ª posição, temos 8 − 1 = 7 possibilidades.

• Para a 5ª posição, temos 7 − 1 = 6 possibilidades.

Logo, pelo princípio fundamental da contagem, o total de senhas possíveis é

$\mathsf{n=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$

$\mathsf{n=30240\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

ou usando a fórmula de arranjos simples,

$\mathsf{n=A_{10,\,5}}\\\\ \mathsf{n=\dfrac{10!}{(10-5)!}}\\\\\\ \mathsf{n=\dfrac{10!}{5!}}\\\\\\ \mathsf{n=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{\diagup\!\!\!\!\! 5!}}$