Question

Qualquer sinal periódico que obedeça às condições de Dirichlet pode
ser representado por uma Série de Fourier composta por uma componente
de frequência fundamental e uma soma de infinitos componentes
de frequências harmônicas múltiplos inteiros desta fundamental. A
representação de Fourier pode conter ainda uma componente DC
(frequência nula).
Determine os coeficientes da Série de Fourier de tempo contínuo para o
sinal dente de serra apresentado na Figura 2.10.

Answer 1

A função apresentada não é mais do que uma repetição $1$-periódica da função $f:\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right] \to [-1,1]$ definida por $f(x) = 2x$. Assim, a série de Fourier pode ser dada na forma:

$\displaystyle \dfrac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty\left [a_k\cos(2\pi k x) + b_k\cos(2\pi k x)\right],$

onde:

$\displaystyle a_k = 2 \int\limits_{-1/2}^{1/2} f(x) \cos(2\pi k x) \textrm{ d}x \quad \textrm{e} \quad b_k = 2 \int\limits_{-1/2}^{1/2} f(x) \sin(2\pi k x) \textrm{ d}x.$

Para os coeficientes $a_k$, notamos que $f$ é ímpar, pelo que a função $f(x)\cos(2\pi k x)$ é também ímpar. Assim, integrando-a entre limites simétricos, o valor do integral para $-1/2 < x < 0$ anula perfeitamente o seu valor para $0 < x < 1/2$, donde se conclui:

$a_k = 0, \forall k \in \mathbb{N}\cup\{0\}.$

Para os coeficientes $b_k$, tem-se:

$\displaystyle b_k = 4\int\limits_{-1/2}^{1/2}x\sin(2\pi k x) \textrm{ d}x = 4 \left[\dfrac{\sin(2\pi k x)}{4k^2\pi^2}-\dfrac{x\cos(2\pi k x)}{2 k \pi}\right]_{-1/2}^{1/2}=\\\\= 4\left[\dfrac{-\frac{1}{2}\cos(\pi k)}{2k\pi}-\left(-\dfrac{-\frac{1}{2}\cos(-\pi k)}{2k\pi}\right)\right] = -\dfrac{2}{k\pi}\cos(k\pi).$

Uma vez que $\cos(k\pi) = (-1)^k$, obtemos finalmente:

$b_k = -\dfrac{2(-1)^k}{k\pi}, \forall k \in \mathbb{N}.$

Resposta: e)

Nota: fez-se uso do integral obtido por integração por partes:

$\displaystyle \int x \sin(a x) \textrm{ d}x = \dfrac{\sin(ax)}{a^2} - \dfrac{x\cos(ax)}{a},$

onde $a\neq 0$ é um parâmetro real.