Question

Qualquer que seja o número natural n, (2^n+1 + 2^n)(3^n+1 - 3^n)/6^n é?

Queria entender porque na resolução do exercicio na terceira linha da resolução, tem o 2^n ali, quando vai pra quarta linha (a que corta) o 2^n desaparece... porque??

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Stefani, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para você entender bem.

i) Tem-se a seguinte expressão que amos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = [(2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ)*(3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ)]/6ⁿ

Agora veja isto e não esqueça mais:

2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2¹ = 2ⁿ * 2 = 2*2ⁿ
e
3ⁿ⁺¹ = 3ⁿ * 3¹ = 3ⁿ * 3 = 3*3ⁿ

Então vamos levar os valores encontrados aí em cima para a nossa expressão "y". Com isso, ficaremos assim:

y = [(2*2ⁿ + 2ⁿ)*(3*3ⁿ - 3ⁿ)]/6ⁿ ---- veja que 6 = 2*3. Então ficaremos:
y = [(2*2ⁿ + 2ⁿ)*(3*3ⁿ - 3ⁿ)]/(2*3)ⁿ ---- veja que (2*3)ⁿ = 2ⁿ * 3ⁿ. Assim, ficaremos com:

y = [(2*2ⁿ + 2ⁿ)*(3*3ⁿ - 3ⁿ)]/(2ⁿ * 3ⁿ)

Agora veja mais isto: no fator (2*2ⁿ + 2ⁿ) vamos colocar 2ⁿ em evidência; e no fator (3*3ⁿ - 3ⁿ) vamos colocar 3ⁿ em evidência. Com isso, ficaremos assim:

y = [2ⁿ(2 + 1) * 3ⁿ(3 - 1)] / (2ⁿ * 3ⁿ)

Agora note que poderemos simplificar "2ⁿ" do numerador com "2ⁿ" do denominador; e poderemos simplificar "3ⁿ" do numerador com o "3ⁿ" do denominador. Após fazermos isso, iremos ficar da seguinte forma:

y = [(2+1)*(3-1)] --- ou apenas:
y = [(3)*(2)] --- como 3*2 = 6, ficaremos com:
y = 6 <--- Pronto. Esta é a resposta. Foi assim que foi resolvida a expressão da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.