Question

qualquer q seja o numero real X a expressão cos⁴x - sen⁴x é equivalente a:

Answer 1

∴Seja x um número real qualquer , temos a expressão :

$cos^4 \ x \ - \ sen^4 \ x$

∴ Utilizando o produto notável , diferença de dois quadrados , temos  que :

$\Big(a^2 \ - \ b^2\Big) \ = \ \Big(a \ + b \Big).\Big(a \ - \ b \Big)$

$a^2 \ = \ cos^4 \ x \ , \ ent\tilde{a}o \ a = \ cos^2 \ x \\ \\ b^2 \ = \ sen^4 \ x \ , ent\tilde{a}o \ b = sen^2 \ x$

∴  Agora irei desmembrar a expressão , utilizando o produto notável citado acima

$\Big(cos^4\ x \ - \ sen^4 \ x \Big) \ = \ \Big( cos^2 \ x \ + sen^2 \ x \Big) . \Big( cos^2 \ x \ - \ sen^2 \ x \Big)$

∴ Pela Relação Fundamental da Trigonometria sabemos que : $sen^2 \ x \ + \ cos^2 \ x \ = \ 1$ . Então substituindo essa igualdade na expressão acima ,

$\Big(cos^4\ x \ - \ sen^4 \ x \Big) \ = \ \Big( \ 1 \ \Big) . \Big( cos^2 \ x \ - \ sen^2 \ x \Big)$
$cos^4\ x \ - \ sen^4 \ x \ = \ \Big(cos^2 \ x \ - \ sen^2 \ x \Big)$

∴ Ainda na trigonometria temos que : $cos \ ( \ 2x \ ) \ = \ cos^2 \ x \ - \ sen^2 \ x$ . Substituindo na expressão acima ,

$cos^4\ x \ - \ sen^4 \ x \ \Leftrightarrow \ cos \ ( \ 2x \ )$