Question

Qual velocidade que uma partícula deve ter para que possua uma energia igual ao dobro de sua energia de repouso ?​

Answer 1

A energia de repouso de uma partícula é dada pela expressão:

$\displaystyle{E_R = m_0c^2}$

onde $m_0$ é a massa do objeto em seu referencial de repouso e $c$ é a velocidade da luz.

A energia total de um objeto que esteja em movimento é:

$\displaytyle{E=\gamma m_0 c^2}$

onde $\gamma$ é o fator de Lorentz, dado por $\displaystyle{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$

Queremos uma situação onde $E = 2E_R$, ou seja:

$\displaytyle{\gamma m_0 c^2=2m_0 c^2}$

De onde se obtém que:

$\displaystyle{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=2}$

$\displaystyle{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{4}}$

$\displaystyle{\frac{v^2}{c^2}=\frac{3}{4}}$

$\displaystyle{v^2=\frac{3}{4}c^2}$

$\displaystyle{\boxed{v=\frac{\sqrt{3}}{2}c}}$

Ou seja, a partícula precisa estar a aproximadamente 86.6% da velocidade da luz para que sua energia total seja o dobro da energia de repouso.