Question

Qual valor de X na figura?? 100 pontos!!

Answer 1

Veja figura em anexo no fim da resposta (editei a própria figura que você anexou à tarefa para melhor explicar a solução).


Pela figura, temos os seguintes ângulos

$A\widehat{O}B=150^{\circ}\\ \\ B\widehat{O}C=\alpha\\ \\ C\widehat{O}D=\beta$

E as medidas dos segmentos:

$BC=3\sqrt{3}\\ \\ CD=3\\ \\ OC=x$


$\bullet\;\;$ O ãngulo $A\widehat{O}D$ é um ângulo raso, isto é, mede $180^{\circ}:$

$A\widehat{O}D=180^{\circ}\\ \\ A\widehat{O}B+B\widehat{O}C+C\widehat{O}D=180^{\circ}\\ \\ 150^{\circ}+\alpha+\beta=180^{\circ}\\ \\ \alpha+\beta=180^{\circ}-150^{\circ}\\ \\ \alpha+\beta=30^{\circ}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Pelo triângulo retângulo $OBC,$ temos que

$\mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{3\sqrt{3}}{x}\\ \\ \\ x=\dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm{sen\,}\alpha}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ E pelo triângulo retângulo $DOC,$ temos que

$\mathrm{sen\,}\beta=\dfrac{3}{x}\\ \\ \\ x=\dfrac{3}{\mathrm{sen\,}\beta}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Igualando $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ obtemos

$\dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm{sen\,}\alpha}=\dfrac{3}{\mathrm{sen\,}\beta}\\ \\ \\ 3\sqrt{3}\,\mathrm{sen\,}\beta=3\,\mathrm{sen\,}\alpha\\ \\ 3\,\mathrm{sen\,}\alpha-3\sqrt{3}\,\mathrm{sen\,}\beta=0\\ \\ 3\cdot \left(\mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\,\mathrm{sen\,}\beta \right )=0\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\,\mathrm{sen\,}\beta=0\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


Com as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(iv)},$ temos o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{lc} \alpha+\beta=30^{\circ}~~&~~\mathbf{(i)}\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\,\mathrm{sen\,}\beta=0~~&~~\mathbf{(iv)} \end{array} \right.$


Isolando $\beta$ na primeira equação e substituindo na segunda, temos

$\beta=30^{\circ}-\alpha\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\,\mathrm{sen}(30^{\circ}-\alpha)=0\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\cdot \left(\mathrm{sen\,}30^{\circ}\cos \alpha-\cos {30^{\circ}}\,\mathrm{sen\,}\alpha \right )=0\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\sqrt{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\cos \alpha- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{sen\,}\alpha \right )=0\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos \alpha+\dfrac{3}{2}\,\mathrm{sen\,}\alpha=0\\ \\ \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos \alpha+\dfrac{3}{2}\,\mathrm{sen\,}\alpha+\mathrm{sen\,}\alpha=0 \\ \\ \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos \alpha+\dfrac{5}{2}\,\mathrm{sen\,}\alpha=0\\ \\ \\ -\sqrt{3}\cos \alpha+5\,\mathrm{sen\,}\alpha=0\\ \\ 5\,\mathrm{sen\,}\alpha=\sqrt{3}\cos \alpha$

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$25\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=3\cos^{2} \alpha\\ \\ 25\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=3\cdot (1-\mathrm{sen^{2}\,}\alpha)\\ \\ 25\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=3-3\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha\\ \\ 25\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha+3\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=3\\ \\ 28\,\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=3\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}\alpha=\dfrac{3}{28}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{3}{28}}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{3\cdot 7}{28\cdot 7}}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{21}{196}}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{14}$


Como $\alpha$ é um ângulo agudo, o seno é positivo:

$\boxed{\begin{array}{c} \mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{14} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Substituindo na equação $\mathbf{(ii)},$ obtemos

$x=\dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm{sen\,}\alpha}\\ \\ \\ x=\dfrac{3\sqrt{3}}{\left(\frac{\sqrt{21}}{14} \right )}\\ \\ \\ x=3\sqrt{3}\cdot \dfrac{14}{\sqrt{21}}\\ \\ \\ x=3\sqrt{3}\cdot \dfrac{2\cdot 7}{\sqrt{3\cdot 7}}\\ \\ \\ x=3\sqrt{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \dfrac{2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{\diagup\!\!\!\! 7}}{\sqrt{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \sqrt{\diagup\!\!\!\! 7}}\\ \\ \\ x=3\cdot 2\sqrt{7}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x=6\sqrt{7} \end{array}}$

Answer 2

Resposta: Pela figura, temos os seguintes ângulos

E as medidas dos segmentos:

 O ãngulo  é um ângulo raso, isto é, mede

 Pelo triângulo retângulo  temos que

 E pelo triângulo retângulo  temos que

 Igualando  e  obtemos

Com as equações  e  temos o seguinte sistema:

Isolando  na primeira equação e substituindo na segunda, temos

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

Como  é um ângulo agudo, o seno é positivo:

Substituindo na equação  obtemos

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Explicação passo-a-passo: