Question

qual valor de p positivo para que a equação x² - 5px + (p + 3) = 0 tenha uma raiz igual ao quadrúplo da outra raiz?
a) P = -2 b) P = -1 c) P = 0 d) P=1

Answer 1

Sendo p positivo as alternativas a e b e c devem ser descartadas, restando apenas o caso onde p = 1. 

Se p = 1 temos x² - 5x + 4 = 0 cujas raízes são 1 e 4 e satisfazem o que é pedido pelo enunciado. 

Supondo não ser tão fácil verificar as assertivas o exercício poderia ser resolvido da seguinte maneira. 

Suponha que a equação x² - 5px + (p+3) = 0 possua soluções reais e distintas, a saber x₁ e x₂, ou seja, suponha que Δ > 0*. 

*Perceba que supor Δ > 0, nessa equação, gera uma restrição sobre p, a saber
p < (4 - 8√(19))/50 ou p > (4+8√(19))/50 .

Assumindo a hipótese tem-se:

{x₁ + x₂ = 5p 
{x₁ · x₂ = p + 3 

Queremos x₂ = 4x₁, logo:

{x₁ + 4x₁ = 5p ⇒ 5x₁ = 5p ⇒ x₁ = p
{x₁ · 4x₁ = p + 3 ⇒ p · 4p = p + 3 ⇒ 4p²  = p + 3 ⇒ 4p² - p - 3 = 0*

*Essa equação quadrática nos fornece p = -3/4 ou p = 1, como queremos p positivo a solução é p = 1.