Question

Qual seria? estou com dificuldades, alguém para me ajudar?

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\sf x {}^{m} y {}^{n} = 2(x + y) { }^{m + n}$

Derivando ambos os lados em relação a "x":

$\sf \frac{d}{dx} (x {}^{m} y {}^{n} ) = \frac{d}{dx}2. (x + y) {}^{m + n}$

Observe que no primeiro membro temos a multiplicação de duas variáveis, ou seja, devemos usar a regra do produto para derivar:

$\sf \frac{d}{dx} (f(x).g(x)) = \frac{d}{dx} f(x).g(x) + f(x). \frac{d}{dx}g(x) \\ \\\sf \frac{d}{dx} (x {}^{m} y {}^{n} ) = \frac{d}{dx} x {}^{m} .y {}^{n} + x {}^{m} . \frac{d}{dx} y {}^{n} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} (x {}^{m} y {}^{n} ) = m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} + x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} . \frac{dy}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \:$

Já no segundo membro é necessário usarmos a regra da cadeia, pois temos uma função dentro de outra:

$\sf\frac{dy}{dx} = \frac{ dy}{du} . \frac{du}{dx} \\ \\ \sf \frac{d}{dx}(x + y) {}^{m + n} \longrightarrow u = x + y \: \: e \: \: t = u {}^{m + n} \: \: \: \: \\ \\\sf \frac{d}{dx}(x + y) {}^{m + n} = \frac{d}{du}u {}^{m + n} . \frac{d}{dx} (x + y) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx}(x + y) {}^{m + n} = (m + n).u {}^{m + n - 1} . \left(1 + \frac{dy}{dx} \right )\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx}(x + y) {}^{m + n} = (m + n).u {}^{m + n - 1} + (m + n).u {}^{m + n - 1} .\frac{dy}{dx} \\ \\ \sf\frac{d}{dx}(x + y) {}^{m + n} = (m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} + (m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}.\frac{dy}{dx}$

Substituindo essas derivações na equação, temos que:

$\sf m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} + x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} . \frac{dy}{dx} =2 \left( (m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} + (m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}.\frac{dy}{dx} \right) \\ \\ \sf m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} + x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} . \frac{dy}{dx} = 2.(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} + 2(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}.\frac{dy}{dx} \: \: \:$

Agora devemos isolar dy/dx:

$\sf x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} . \frac{dy}{dx} - 2(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}.\frac{dy}{dx} = 2.(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} - m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} . (x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} - 2(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}) = 2.(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} - m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2.(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1} - m.x {}^{m - 1} .y {}^{n} }{x {}^{m} .n.y {}^{n - 1} - 2(m + n).(x + y) {}^{m + n - 1}}$

Espero ter ajudado