Question

Qual seria a altura da atmosfera se a densidade do ar (a) fosse constante e (b) diminuísse linearmente a zero com a altura? Suponha que a densidade ao nível do mar é 1,3 kg∙m-3 .

Answer 1

(a) 

Para fluidos incompressíveis aplicamos a Lei de Stevin 
p = p0 + μ g y 
é uma função da presão linear com a altura,y, já que p0, μ e g são constantes. 

a pressão no nível do mar é aproximadamente 1,01.10^5 N/m² 
foi dado que 
μ = 1,21 kg/m³ 
queremos que a pressão atmosférica no topo da atmosfera seja nula 
p0 = 0 N/m² 

usando para a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s², teremos 

1,01.10^5 = 1,21 .9,8 . y 

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y ≈ 10,3 km 
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(b) 

supondo que μ varia linearmente com a altura 
μ = b + a y 
pois, a partir do topo da atmosfera, quanto mais profundo (y aumenta) maior é μ. 

Sabemos então que quando y=0 a massa específica do ar deve se anular. Então 
b = 0 

Quando y = h, a altura da atmosfera, queremos que 
μ = μ0 
ou seja que a massa específica seja 1,21 kg/m³. 

Assim 
μ = μ0 y /h 
é a função linear de μ com a altura y. 



Então temos que modificar a Lei de Stevin 
p = p0 + μ g y 
para o caso em que a densidade varie: 
p = p0 + ∫ μ g dy 
ou 
p = p0 + g ∫ μ dy 
p = p0 + g ∫ (μ0 y /h) dy 
p = p0 + g (μ0/h) ∫ y dy 
p = p0 + g (μ0/h) [y²/2 - y0²/2] 

Como a altura inicial é no topo y0 = 0 m (e y aumenta conforme a profundidade aumenta) 

p = p0 + g (μ0/h) y²/2 
e a profundidade máxima se dá em y = h 
p = p0 + g (μ0/h) h²/2 
p = p0 + g μ0 h/2 

Vimos que p0 deve ser nulo. Assim 

h = 2 p / g μ0 
h = 2 (1,01.10^5) / (10 . 1,21) 
h = 202 000 / 12,1 

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y ≈ 16,7 km 
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