Question

qual resultado da integral indefinida

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{12}{7}\sqrt[3]{x^7}+9\:\sqrt[3]{x}}+C$

Explicação passo-a-passo:

Bom dia, olhando aqui.. eu já penso em separar essa fração com mesmo denominador e fazer duas integrais:

$\int\dfrac{4x^2}{x^{2/3}}dx+\int\dfrac{3}{x^{2/3}}dx$

Na primeira integral a gente pode tirar o 4, constante sai da int multiplicando e também subtrair os expoentes x, e na segunda a gente pode tirar o 3, porque é uma constante, então a gente tira ele da integral, multiplicando agora e inverte o nosso x, tornando o expoente negativo.

$4\int x^{2-\frac{2}{3}}dx+3\int x^{-2/3}dx$

$4\int x^{4/3}dx+3\int x^{-2/3}dx$

E agora só resolver as integrais, somando um nos expoentes dos x e dividir pelo mesmo expoente+1, esse é o método padrão para integrar algêbricas:

$\dfrac{4x^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1}+\dfrac{3x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C$  

, C é a constante de integração, característica de int indefinida.

$\dfrac{4x^{7/3}}{7/3}+\dfrac{3x^{1/3}}{1/3}+C$

Agora podemos multiplicar o numerador pelo inverso da fração no denominador:

$4x^{7/3}*\dfrac{3}{7}+3x^{1/3}*3+C$

$\dfrac{12x^{7/3}}{7}+9x^{1/3}+C$

E pra fechar, utilizamos a propriedade de radiciação pra transformar esses expoentes em raízes, $x^{n/m}=\sqrt[m]{x^n}$:

$\dfrac{12}{7}\sqrt[3]{x^7}+9\:\sqrt[3]{x}}+C$

E aí temos nossa resposta, espero ter ajudado!