Question

Qual resto se obtém efetuando a divisão abaixo?
(6x^{5}+3x^{4}-13x³ -4x²+5x+3

Answer 1

Olá!
 
     $(6x^{5}+3x^{4}-13x^3 -4x^2+5x+3): (3x^3-2x-1)$

Olhe para o 1º termo do dividendo:  $6x^5$   e perceba que o valor que você tem que usar para multiplicar pelo 1º termo do divisor para se obter este   $6x^5$   é   $2x^2,$   pois    $2x^2\cdot 3x^3 = 6x^5.$  


    Então o primeiro termo do quociente é   $2x^2.$  Multiplique-o por todos os termos do divisor e coloque abaixo do polinômio do dividendo e subtraia. Do polinômio que restar, faça o mesmo procedimento:


$(6x^{5}+3x^{4}-13x^3 -4x^2+5x+3)\rightarrow 1^\circ \;\text{termo}=6x^5\\ \\ \text{Divisor = }(3x^3-2x-1)\rightarrow 1^\circ\;\text{termo do quociente = }2x^2 \\ \\ \text{Multiplicando 2x^2 por todos os termos do divisor:} \\ \\ 2x^2\cdot (3x^3-2x-1)=6x^5-4x^3-2x^2\;\;\text{e fazendo o }\\ \text{dividendo menos este resultado, temos}\\ \\ (6x^{5}+3x^{4}-13x^3 -4x^2+5x+3)-(6x^5-4x^3-2x^2)=\\ \\ = 3x^4-9x^3-2x^2+5x+3.$

    Note que o grau do polinômio que obtivemos é 4, que ainda é maior que o grau do divisor (que é 3). Então dá para repetir o processo. 

    O primeiro termo deste polinômio obtido é   $3x^4$   e, para se obtê-lo ao multiplicarmos o primeiro termo do divisor, devemos utilizar o monômio   $x$   já que   $x\cdot 3x^3 = 3x^4$   e, assim, prosseguir:


$x\cdot (3x^3-2x-1) = 3x^4-2x^2-x.\\ \\ \text{Fazendo a subtra\c c\~ao do polin\^omio obtido no \'ultimo processo por }\\ \text{este polin\^omio, temos}\\ \\ (3x^4-9x^3-2x^2+5x+3)-(3x^4-2x^2-x)=-9x^3+6x+3.\\ \\ \text{Repetindo o processo (pois o grau do polin\^omio que obtivemos }\\ \text{ainda n\~ao \'e menor que o grau do polin\^omio do divisor)}:\\ \\ (-3)\cdot (3x^3-2x-1) = -9x^3+6x+3.\\ \\ \text{Da\'{\i},}\\ \\ (-9x^3+6x+3)-(-9x^3+6x+3) = 0.$
  
    Ou seja, aqueles primeiros termos que utilizamos a cada reinício do processo, formam o polinômio quociente, e o resto, é o zero que obtivemos no último processo.
 
    Então, o quociente é   $2x^2+x-3$   e o resto é zero.




Bons estudos!