Question

Qual posição ocupa uma “escada" que tem 78 cm² de área?
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para calcularmos a resposta, vamos indutivamente analisar os primeiros casos para tentarmos chegar à uma resposta.

• A primeira escada tem 1 cm²

• A segunda escada tem (2+1) cm²

• A terceira escada tem (3+2+1) cm²

• A quarta escada tem (4+3+2+1) cm²

Vamos tentar generalizar para quando nossa escada está na posição "n"

A "n-ésima" terá (n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1) cm²

Essa soma é conhecida por ser a soma de uma progressão aritmética, e é igual à $\frac{n(n+1)}{2}$.

Logo, A "n-ésima" soma terá $\frac{n(n+1)}{2}$  cm²

Basta igualarmos esta expressão à 78  cm² para descobrir a posição da escada:

$\frac{n(n+1)}{2}=78\\n(n+1)=156$

A partir de agora, temos dois jeitos de resolver:

1. Por lógica, adivinhamos um número que multiplicado de seu sucessor equivale à 156
2. Distribuímos o produto e resolvemos uma equação quadrática

Eu resolveria por lógica, porém, para que a solução seja menos abstrata, irei resolver com bhaskara:

$n(n+1)=156\\n^{2}+n=156\\n^{2}+n-156=0$

$n=\frac{-1+\sqrt{1^{2}+4*1*156} }{2*1} \\=\frac{-1+\sqrt{625} }{2}\\=\frac{-1+25 }{2}\\=\frac{24}{2}=12$

(Obs: Note que não considerei o valor negativo da equação, ja que apenas me interessa a solução positiva)

Portanto, essa escada ocupa a decima segunda posição

É uma questão bem desafiadora de lógica. Espero ter te ajudado ^^