Question

Qual opção indica a integral da função vetorial r(t) = (t², sen t, tg t)? (1/(2t1/2), cos t, sec² t) (1/(2t1/2), -cos t, sec² t) (t³/3, -cos t, sec² t) (t³/3, -cos t, -sec² t) (t³/3, cos t, -sec² t)

Answer 1

Para integrar uma função vetorial temos que integrar cada componente da mesma.

Sendo r(t) = (t², sen(t), tg(t)), temos que:

$\int\ t^2dt = \frac{t^3}{3}$

∫sen(t)dt = -cos(t)

Para calcular a integral da função tangente, precisamos utilizar o método da substituição u du.

Sabendo que $tg(t)=\frac{sen(t)}{cos(t)}$, temos que:

$\int\tg(t)dt=\int\frac{sen(t)}{cos(t)}dt$

Considerando que u = cos(t), então du = -sen(t)dt:

$\int\ tg(t)=-\int\frac{du}{u}=-ln(u) = -ln(cos(t))=ln(cos)^{-1}=ln(\frac{1}{cos(t)})=ln(sec(t))$

Portanto, a integral da função vetorial r é igual a:

∫r(t) = ($\frac{t^3}{3}$, -cos(t), ln(sec(t)))