Matemática, perguntado por tatagu, 1 ano atrás

qual oitavo termo da PA ( 2; 8; 14; ...)?

Soluções para a tarefa

Respondido por LuanaSC8

$PA~\{2, 8, 14, ...\}\\\\\\ a_1=2\\ r=8-2=6\\ n=8\\ a_8=?\\\\\\ a_n=a_1+(n-1)\times r\\ \\\\\ a_8=2+(8-1)\times 6\to\\\\ a_8=2+7\times 6\to\\\\ a_8=2+42\to\\\\ \boxed{a_8=44} \\\\\\\\\\ PA~\{2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44\}$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (2, 8, 14,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)oitavo termo (a₈): ?

d)número de termos (n): 8 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 8ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do oitavo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 2: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 8 - 2 ⇒

r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₈ = 2 + (8 - 1) . (6) ⇒

a₈ = 2 + (7) . (6) ⇒ (Veja a Observação 3.)

a₈ = 2 + 42 ⇒

a₈ = 44

Observação 3: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O oitavo termo da P.A.(2, 8, 14...) é 44.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₈ = 44 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

44 = a₁ + (8 - 1) . (6) ⇒

44 = a₁ + (7) . (6) ⇒

44 = a₁ + 42 ⇒ (Passa-se 42 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

44 - 42 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₈ = 44.)

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