Qual o vigésimo termo da PA (12,7,2,...)?
Soluções para a tarefa
a20=a1+(19).r => r=2-7=-5
a20=12+(19).-5
a20=12 -95
a20= -83 ✓
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (12, 7, 2,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades negativas (por exemplo, 7=12+(-5)) e 2=7+(-5)). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 12
d)vigésimo termo (a₂₀): ?
e)número de termos (n): 20
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, aproximando-se do zero, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero, porque o terceiro termo, embora positivo, será somado a um valor negativo e resultará em um quarto termo negativo e a este e aos demais termos será sempre somado um valor constante negativo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 7 - 12 ⇒
r = -5 (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₀ = 12 + (20 - 1) . (-5) ⇒
a₂₀ = 12 + (19) . (-5) ⇒
a₂₀ = 12 - 95 ⇒
a₂₀ = -83
RESPOSTA: O vigésimo termo da P.A. (12, 7, 2, ...) é -83.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₀ = -83 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-83 = a₁ + (20 - 1) . (-5) ⇒
-83 = a₁ + (19) . (-5) ⇒
-83 = a₁ - 95 ⇒
-83 + 95 = a₁ ⇒
12 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 12 (Provado que a₂₀ = -83.)
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