Question

qual o valor ?
$\int\limits^2_1 {(5x^6-6x^4-4x+2)/x^2} \, dx$

Answer 1

Bom, primeiramente, para facilitar, vamos fazer a divisão do polinômio:

    5x^6 - 6x^4 - 4x + 2      | x^2
  - 5x^6                             5x^4-6x^2
    \\\\   -6x^4
          +6x^4
             \\\\\
                   -4x+2

Então, essa divisão teve quociente 5x^4-6x^2 com resto -4x+2

$\int\limits^2_1 {\frac{5x^6-6x^4-4x+2}{x^2}} \, dx = \int\limits^2_1 {5x^4-6x^2} \, dx - \int\limits^2_1 {\frac{4x+2}{x^2} \, dx$

Sabemos que a regra da potência é:

$\boxed{\int\ x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1}}$

Então, podemos resolver a primeira parte:

$\int\limits^2_1 5x^4-6x^2 \, dx \\\\ =\frac{5x^5}{5}-\frac{6x^3}{3}\\\\ =x^5-6x^3$

Agora, pelo teorema, resolvemos:

$\int\limits^2_1 x^5-2x^3 = (2^5-2*2^3)-(1^5-2*1^3)\\\\\ =(32-16)-(-1)\\\\ =16+1\\\\ \boxed{17}$

Agora, o que restou, vamos usar a técnica de integração racional:

$\int\limits^2_1 {\frac{4x+2}{x^2} \, dx =\int\limits^2_1 {\frac{A}{x^2} \, dx +\int\limits^2_1 {\frac{B}{x} \, dx$

$\int\limits^2_1 {\frac{4x+2}{x^2} \, dx = \int\limits^2_1 {\frac{A+Bx}{x^2} \, dx$

Então, ficamos com:

$4x+2=A+Bx\\\\ \boxed{x=0}\\\\ 0+2=A+0B\\\\ \boxed{A=2}\\\\ \boxed{x=1}\\\\ 4+2=2+B\\\\ \boxed{B=4}$

Logo, nos restou:

$\int\limits^2_1 {\frac{4x+2}{x^2} \, dx =\int\limits^2_1 {\frac{2}{x^2} \, dx +\int\limits^2_1 {\frac{4}{x} \, dx$

Integrando....

$-\frac{2}{x}+4\ ln\ x$

Aplicando o teorema:

$-\frac{2}{x}+4\ ln\ x\\\\ =(\frac{-2}{2}+4\ ln\ 2)-(\frac{1}{1}+4\ ln\ 1)\\\\ =-1+4\ ln\ 2-1-4\ ln\ 1\\\\ 1+4(ln2*1)\\\\ \boxed{-1+4\ ln\ 2}$

Pronto, agora basta terminar as contas:

$= 17-(-1+4\ ln\ 2)\\\\ =18-4\ ln\ 2$

Então, no final teremos que:

$\boxed{\int\limits^2_1 {\frac{5x^6-6x^4-4x+2}{x^2}} \, dx = 18-4\ ln\ 2+C}$