Question

Qual o valor pedido pela questão em anexo?

Answer 1

Resposta: 2

Explicação passo-a-passo:

Podemos isolar o valor de y na primeira expressão:

$x + y = \dfrac{\pi}{4} \\\\y = \dfrac{\pi}{4} - x$

Substituindo y na segunda expressão e usando a propriedade distributiva entre os dois termos da expressão, temos:

$(1 + \tan(x))(1 + \tan(y)) \\\\1 + \tan(x) + \tan(y) + \tan(x)\tan(y) \\\\1 + \tan(x) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) + \tan(x)\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)$

Usando a identidade $\tan(a - b) = \dfrac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$, temos:

$1 + \tan(x) + \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) + \tan(x)\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) \\\\\\1 + \tan(x) + \dfrac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(x)}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan(x)} + \tan(x) \left( \dfrac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(x)}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan(x)}\right)$

Como tan(π÷4) = 1, então:

$1 + \tan(x) + \dfrac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(x)}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan(x)} + \tan(x) \left( \dfrac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(x)}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan(x)}\right) \\\\\\1 + \tan(x) + \dfrac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)} + \tan(x) \left( \dfrac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)}\right) \\\\\\1 + \tan(x) + \dfrac{1 - \tan(x) + \tan(x)(1 - \tan(x))}{1 + \tan(x)}$

Isolando 1 - tan(x) em evidência, temos:

$1 + \tan(x) + \dfrac{1 - \tan(x) + \tan(x)(1 - \tan(x))}{1 + \tan(x)} \\\\\\1 + \tan(x) + \dfrac{(1 - \tan(x))(1 + \tan(x))}{1 + \tan(x)} \\\\\\1 + \tan(x) + 1 - \tan(x) = 1 + 1 = 2$