Question

qual o valor numérico da sentença (foto abaixo) sen(x/2)+2.cos(3x/4)/3.cosx para x=180/3? resposta:1+2√2/3. Preciso de ajuda com a resolução.

Answer 1

Substituindo os valores encontramos:

$\frac{sen\left ( \frac{x}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3x}{4} \right )}{3.cos(x)}=\frac{0,5+2\sqrt2}{1,5}$

O primeiro passo para obter este resultado é substituir os valores:

$\frac{sen\left ( \frac{x}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3x}{4} \right )}{3.cos(x)}=\frac{sen\left ( \frac{\frac{\pi}{3}}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3\frac{\pi}{3}}{4} \right )}{3.cos(\frac{\pi}{3})}$

Em seguida, trabalhamos com as frações dentro dos argumentos com o intuito de simplificar o máximo possível:

$\frac{sen\left ( \frac{x}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3x}{4} \right )}{3.cos(x)}=\frac{sen\left ( \frac{\pi}{6} \right )+2cos\left ( \frac{\pi}{4} \right )}{3.cos(\frac{\pi}{3})}$

Uma vez simplificado, precisamos encontrar os angulos respectivos.

$\frac{\pi}{6}$ é o angulo de 30 º

$\frac{\pi}{4}$ é o angulo de 45 º

$\frac{\pi}{3}$ é o angulo de 60 º

Portanto, podemos escrever com ângulos em graus (ao invés de escrever na forma de radianos):

\frac{sen\left ( \frac{x}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3x}{4} \right )}{3.cos(x)}=\frac{sen\left ( 30^\circ \right )+2cos\left ( 45^\circ \right )}{3.cos(60^\circ)}

Resta agora trabalhar com os valores

Os valores podem ser encontrados em uma tabela ou deduzidos através de um triangulo equilátero (para seno e cosseno dos angulos 30º e 60º) e de um quadrado (para o seno e cosseno de 45º)

\frac{sen\left ( 30^\circ \right )+2cos\left ( 45^\circ \right )}{3.cos(60^\circ)}=\frac{0,5+2\sqrt2}{3\cdot0,5}

Portanto, concluímos que

$\frac{sen\left ( \frac{x}{2} \right )+2cos\left ( \frac{3x}{4} \right )}{3.cos(x)}=\frac{0,5+2\sqrt2}{1,5}$