Matemática, perguntado por fabriciobs, 1 ano atrás

Qual o valor mínimo e máximo de Y = senX + CosX?

Obs.: Usando apenas conceitos trigonométricos e os resultados Sen (a+b) e Cos (a-b)

Ajudem, por favor!

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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y=\mathrm{sen\,}x+\cos x


Sabemos que

( propriedades de arcos complementares e suplementares )

\mathrm{sen\,}x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )\\\\\cos x=-\cos (\pi+x)


e portanto, podemos reescrever a nossa função assim:

y=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )+\cos x\\\\\\ y=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos (\pi+x)~~~~~~\mathbf{(i)}

__________________

Agora temos uma diferença de cossenos. Podemos fazer o seguinte.

Sabemos que

\left\{ \begin{array}{cc}\cos(a-b)=\cos a\cos b+\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b&~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b&~~~~\mathbf{(iii)} \end{array} \right.


Subtraindo as equações \mathbf{(ii)} e \mathbf{(iii)}, temos

\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\,\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b~~~~~~\mathbf{(iv)}


Analisando a expressão \mathbf{(i)} e \mathbf{(iv)}, basta escolhermos a e b adequados, de forma que

\left\{ \!\begin{array}{cc} a-b=\dfrac{\pi}{2}-x&~~~~\mathbf{(v)}\\\\ a+b=\pi+x&~~~~\mathbf{(vi)} \end{array} \right.


Resolvendo o sistema acima para a e b, encontramos

2a=\dfrac{\pi}{2}+\pi\\\\\\ 2a=\dfrac{3\pi}{2}\\\\\\ a=\dfrac{3\pi}{4}\\\\\\\\ b=\pi+x-a\\\\ b=\pi+x-\dfrac{3\pi}{4}\\\\\\ b=\dfrac{\pi}{4}+x


Aplicando em \mathbf{(iv)} os valores encontrados, obtemos

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=2\,\mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{4}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )\\\\\\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )\\\\\\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=\sqrt{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )


Mas o lado esquerdo é justamente a expressão de y em \mathbf{(i)}. Portanto,

\boxed{\begin{array}{c}y=\sqrt{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right ) \end{array}}


Segue diretamente da última igualdade acima que

• O valor mínimo de y é quando \mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )=-1:

y_{\text{m\'in}}=\sqrt{2}\cdot (-1)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_{\text{m\'in}}=-\sqrt{2}\end{array}}


• O valor máximo de y é quando \mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )=1:
 
y_{\text{m\'ax}}=\sqrt{2}\cdot 1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_{\text{m\'ax}}=\sqrt{2}\end{array}}


Bons estudos! :-)


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