Question

qual o valor mínimo da função y= x² - 4x +3

qual o valor máximo da função y= - x² + x + 6?​

Answer 1

Resposta:

a) Mínimo =  - 1               b)  Máximo =  25/4

Explicação passo a passo:

Equação completa do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c     a ; b ; c   ∈ |R    ;   a ≠ 0  

O estudo de mínimo ou máximo de uma função quadrática ( também

chamada do 2º grau), resume-se a saber duas " coisas ":

1ª   Qual o sinal do coeficiente "a"

2º O  valor da coordenada em y, do vértice

O sinal do "a" diz-nos se a a concavidade da parábola está  virada para

cima ou para  baixo.

A coordenada em y do vértice diz-nos qual o mínimo ou máximo da

função.

a > 0 concavidade virada para cima = função tem um mínimo

a < 0 concavidade virada para baixo = função tem um máximo

a)  f(x) =  x² - 4x + 3

a = 1  logo  a > 0    

Concavidade para cima

Função tem um mínimo,  

Cálculo das coordenadas do vértice

Através de duas fórmulas que recorrem a elementos de expressão

algébrica que representa a função

$Vertice = (-\frac{b}{2a} ; -\frac{delta}{4a} )$

Recolha de dados:  

a = 1     b = - 4    c = 3           Δ = b² - 4 * a * c = (- 4 )² - 4 * 1 * 3 = 16 -12 = 4

Aplicação das fórmulas

Cálculo da coordenada em "x"

x = - b / 2a =( - ( -4 )) / 2*1 = + 4 / 2 = 2  

Cálculo da coordenada em "y"

y = - Δ / 4a = - 4/ ( 4 * 1 ) = - 4 / 4 = - 1

Vértice ( 2 ; - 1 )

O mínimo de f(x) é  - 1

Muito Importante :    

( anexo 1 ) → como se pode ver pela reta y = - 1  a função do 2º grau não

toma em y , nenhum valor abaixo de -1

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b) g(x) = - x² + x + 6    

a = - 1 logo a < 0  concavidade para baixo  ; função tem máximo

Recolha de dados

a = - 1        b = 1       c = 6           Δ = 1² - 4 * ( - 1 ) * 6 = 1 + 24 = 25

Cálculo das coordenadas do vértice

Cálculo coordenada em x    

x = - b / 2a  = - 1 / (2 *(- 1 )) = - 1 / ( - 2 ) = 1 / 2

Cálculo coordenada em y

y = - Δ / 4a = - 25  = / (4 * ( - 1 )) = - 25 / ( - 4 )  = 25 / 4

Vértice ( 1/2 ; 25/4 )

O máximo de f(x) é 25/4

Muito Importante :

( anexo 2 ) → como se pode ver pela reta y = 25/4  a função do 2º grau não

toma em y , nenhum valor acima de 25/4

Observação → Em boa verdade , para calcular o máximo ou mínimo de

uma função do 2º grau, apenas é necessário o cálculo da coordenada em

y do vértice.

 

Todavia aproveitei para indicar e explicar como se chega à coordenada em

" x " do vértice .

Bons estudos.  

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( / ) divisão       ( * ) multiplicação       ( ∈ )  pertencer a

( ≠ ) diferente de      ( |R ) símbolo dos números reais

( Δ ) delta ; binómio descriminante de função do 2º grau